Вычислите длину дуги APD, если длина дуги АМВ равна 12л, а радиусы дуг AMB, BNC и СКД относятся как 3 : 2 : 1 (рис. 12.25). (AB, BC, CD, AD – диаметры полуокружностей.)

Давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Найдем радиусы дуг AMB, BNC и СКД. Пусть радиус дуги AMB равен 3r, тогда радиусы дуг BNC и СКД будут равны 2r и r соответственно.

Шаг 2: Найдем длину дуги AMB по формуле l = r * α, где α – центральный угол. Так как длина дуги AMB равна 12l, то 12r * α = 12l. Поделим обе части уравнения на 12: r * α = l.

Шаг 3: Найдем центральные углы для дуг BNC и СКД. Поскольку радиусы этих дуг относятся к радиусу дуги AMB как 2:1, центральный угол для дуги BNC будет равен половине угла AMB, а центральный угол для дуги СКД будет равен третьей части угла AMB. Таким образом, α_BNC = α_AMB / 2 и α_CKD = α_AMB / 3.

Шаг 4: Найдем длины дуг BNC и СКД, используя формулу l = r * α. Для дуги BNC: l_BNC = 2r * α_BNC = 2r * (α_AMB / 2) = r * α_AMB. Аналогично для дуги СКД: l_CKD = r * α_CKD = r * (α_AMB / 3).

Шаг 5: Зная, что длина дуги AMB равна 12l, а длины дуг BNC и СКД будут равны l_BNC и l_CKD соответственно, запишем соотношение: 12r * α_AMB = l_BNC + l + l_CKD.

Шаг 6: Подставим найденные значения для длин дуг AMB, BNC и СКД в уравнение из шага 5 и решим его относительно α_AMB.

Шаг 7: Найдем длину дуги APD, используя формулу l = r * α. Подставим значение центрального угла α_AMB, найденное на предыдущем шаге, и найдем значение l_APD.

Шаг 8: Ответ: длина дуги APD равна l_APD.

Итак, мы рассмотрели шаги решения этой задачи. Теперь можно приступать к конкретным вычислениям, используя числовые значения радиусов и длины дуги AMB, чтобы найти длину дуги APD.