Высота конуса равна 20 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найти площадь полной поверхности и объем конуса.

Решение:
Чтобы найти площадь поверхности и объем конуса, нужно использовать следующие формулы:

Площадь осевого сечения конуса:
S_sect = (π * r^2) * (α/360°),

где r – радиус основания конуса, α – угол при вершине осевого сечения.

Площадь боковой поверхности конуса:
S_side = π * r * L,

где L – длина образующей конуса.

Площадь полной поверхности конуса:
S_total = S_side + S_base,

где S_base – площадь основания конуса.

Объем конуса:
V = (1/3) * S_base * h,

где h – высота конуса.

Шаги решения:

1. Найдем радиус основания конуса (r).
Так как угол при вершине осевого сечения равен 120°, угол в радианах будет α = (120° * π) / 180°.
Радиус основания конуса будет находиться через формулу sin(α/2) = r/L, где L – длина образующей.
Так как r это радиус основания, то он будет равен L * sin(α/2).

2. Найдем длину образующей конуса (L).
Так как треугольник осевого сечения равнобедренный, то длина образующей будет L = 2 * r / sin(α/2).

3. Найдем площадь основания конуса (S_base).
Формула площади основания: S_base = π * r^2.

4. Найдем площадь боковой поверхности конуса (S_side).
Формула площади боковой поверхности: S_side = π * r * L.

5. Найдем площадь полной поверхности конуса (S_total).
Формула площади полной поверхности: S_total = S_side + S_base.

6. Найдем объем конуса (V).
Формула объема конуса: V = (1/3) * S_base * h.

7. Подставим значения в соответствующие формулы и произведем вычисления.

Ответ: Площадь полной поверхности конуса составляет S_total, а объем конуса – V.