Дано уравнение: x^2 + y^2 – 3z + z^2 + 5y – x – 18 = 0.
Шаги решения:
1. Перенесем все члены уравнения в левую сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:
x^2 + y^2 + z^2 – x + 5y – 3z – 18 = 0.
2. Перегруппируем члены уравнения:
x^2 – x + y^2 + 5y + z^2 – 3z – 18 = 0.
3. Разделим уравнение на 2:
(x^2 – x) + (y^2 + 5y) + (z^2 – 3z) – 18/2 = 0.
4. Завершим квадрат для каждого квадратного члена:
(x^2 – x + 1/4) + (y^2 + 5y + 25/4) + (z^2 – 3z + 9/4) – 18/2 – 1/4 – 25/4 – 9/4 = 0.
5. Сгруппируем полные квадраты и соберем константы:
(x – 1/2)^2 + (y + 5/2)^2 + (z – 3/2)^2 – 9 – 1/4 – 25/4 – 9/4 = 0.
6. Упростим выражение:
(x – 1/2)^2 + (y + 5/2)^2 + (z – 3/2)^2 – 45/4 – 1/4 – 34/4 = 0.
7. Комбинируем константы:
(x – 1/2)^2 + (y + 5/2)^2 + (z – 3/2)^2 – 80/4 = 0.
8. Упростим выражение:
(x – 1/2)^2 + (y + 5/2)^2 + (z – 3/2)^2 – 20 = 0.
Таким образом, уравнение x^2 + y^2 – 3z + z^2 + 5y – x – 18 = 0 представляет собой уравнение сферы в трехмерном пространстве с центром в точке (1/2, -5/2, 3/2) и радиусом sqrt(20).