Задача. Не лежащие в одной плоскости прямые МК, MЕ и MF пересекают плоскость а в точках A, В и С, a параллельную ей плоскость в в точках А1, В1 и С1. 1. Докажите, что: a) соответственные стороны треугольников АBС и А В параллельны; B б) соответственные углы треугольников АВС и А,В C1 равны; в) треугольники АВС и А В,C1 подобны.

Для начала докажем, что векторы (overrightarrow{AB}) и (overrightarrow{A_1B_1}) параллельны.

Заметим, что вектор (overrightarrow{AB}) можно представить как сумму двух векторов: (overrightarrow{AE}) и (overrightarrow{EB}). Аналогично, вектор (overrightarrow{A_1B_1}) можно представить как сумму двух векторов: (overrightarrow{A_1E}) и (overrightarrow{E_1B_1}).

Так как прямые МК, MЕ и MF не лежат в одной плоскости, то точка E не лежит в плоскости АС1B1. Значит, прямая ЕВ1 параллельна плоскости АС1B1.

Также прямая ЕВ параллельна плоскости а, а значит вектор (overrightarrow{EB}) тоже параллелен этой плоскости. Так как параллельные прямые имеют параллельные векторы, то (overrightarrow{AE}) и (overrightarrow{EB}) параллельны плоскости а.

Таким образом, (overrightarrow{AB}) и (overrightarrow{A_1B_1}) параллельны и соответствующие стороны треугольников АВС и АВС1 параллельны (часть a доказана).

Теперь докажем, что соответствующие углы треугольников АВС и АВС1 равны (часть б).

Так как стороны АВ и АВ1 параллельны, угол между ними и соответствующим лучом плоскости а будет прямым углом. А так как А1В1 // а, то угол В1А1С1 также будет прямым углом.

Таким образом, угол ВС равен углу В1С1, угол АВ равен углу А1В1 и угол АС равен углу А1С1.

Наконец, докажем, что треугольники АВС и АВС1 подобны (часть в).

Углы АВС и АВС1 равны по доказанному выше. Также углы между соответствующими сторонами в этих треугольниках равны, так как эти стороны параллельны. Значит, треугольники подобны по стороне-угол-сторона.

Таким образом, заданные требования выполняются, и требуемые утверждения a), б) и в) доказаны.