Задание #1 Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и боковой стороной длины 22. Точка K на стороне BC такая, что KC = 4, площадь треугольника ABC равна 55. Найдите площадь треугольника ABK.

Пусть точка M – середина стороны AC. Так как ABC – равнобедренный треугольник, то AM является высотой треугольника. Пусть AM = h.

Площадь треугольника ABC равна половине произведения длин основания на высоту:
S_ABC = (AC * h) / 2.

Известно, что S_ABC = 55. Подставим это значение в уравнение:
55 = (AC * h) /2.

Выразим AC из этого уравнения:
AC = (110 * 2) / h.

Из условия задачи известно, что длина боковой стороны BC равна 22, а KC = 4. Тогда длина BK = BC – KC = 22 – 4 = 18.

Так как точка K – середина стороны BC, то длина MK = BK / 2 = 18 / 2 = 9.

Площадь треугольника ABK также можно выразить через длины сторон и высоту AM:
S_ABK = (AB * AM) / 2.

Заметим, что треугольники ABK и ABC имеют равные высоты AM и похожие основания AB и AC.

Так как AB = 2 * MK и AC = 2 * AM, то площадь треугольника ABK равна:
S_ABK = (AB * AM) / 2 = ((2 * MK) * (AC / 2)) / 2 = (MK * AC) / 2.

Подставим выражение для AC:
S_ABK = (MK * (110 * 2)) / (2 * h).

Теперь можем найти значение площади треугольника ABK, используя известные значения:
S_ABK = (9 * (110 * 2)) / (2 * h).

В задаче не дано, какое значение имеет h, однако мы можем выразить его из уравнения, имеющего площадь треугольника ABC:
h = (110 * 2) / AC.

Подставим это значение h в уравнение для площади треугольника ABK:
S_ABK = (9 * (110 * 2)) / (2 * ((110 * 2) / AC)).

Упростим выражение:
S_ABK = (9 * (110 * 2 * AC)) / (2 * (110 * 2)).

Заметим, что множители (110 * 2 * AC) и (110 * 2) сократятся:
S_ABK = 9 * AC / 2.

Таким образом, площадь треугольника ABK равна 9/2 от длины AC.

Используя выражение, приведенное ранее:
AC = (110 * 2) / h,

и подставляя значение h из условия задачи (площадь ABC равна 55):
AC = (110 * 2) / 55 = 4.

Тогда S_ABK = 9/2 * AC = 9/2 * 4 = 18.

Таким образом, площадь треугольника ABK равна 18.