Пусть ABC – треугольник, а N – точка пересечения медиан. Чтобы объяснить подобие треугольника, мы должны показать, что вершины одного треугольника соединены соответствующими точками другого треугольника прямыми таким образом, что все углы обоих треугольников равны.
1. Докажем, что вершины треугольника ABC соединены точками пересечения медиан AM, BN и CO соответственно.
2. Рассмотрим треугольник A’BC, где A’ – точка пересечения медианы BN и стороны AC. Докажем, что треугольник A’BC подобен треугольнику ABC.
3. Рассмотрим угол A’BC и угол ABC. Оба угла содержатся между сторонами BC и AB и соответствующие стороны смежны. Кроме того, оба угла равных медиан треугольников. Поэтому угол A’BC равен углу ABC.
4. Аналогично, рассмотрим угол ABC и угол BCA. Оба угла содержатся между сторонами AC и BC и соответствующие стороны смежны. Кроме того, оба угла равны медианым треугольников. Поэтому угол ABC равен углу BCA.
5. Наконец, рассмотрим угол BCA и угол CAB. Оба угла содержатся между сторонами AB и BC и соответствующие стороны смежны. Кроме того, оба угла равны медианам треугольников. Поэтому угол BCA равен углу CAB.
Таким образом, треугольник A’BC подобен треугольнику ABC. Аналогично можно доказать подобие треугольников B’CA и C’AB.