знайдіть косинус кута між векторами a̅ і b̅, якщо |a̅|=|b̅|=1 і (a̅+2b̅)(4a̅+3b̅)=5.

Давайте обозначим векторы a̅ и b̅ следующим образом:
a̅ = (a₁, a₂)
b̅ = (b₁, b₂)

Условие |a̅| = |b̅| = 1 означает, что длина каждого вектора равна 1:
|a̅| = √(a₁² + a₂²) = 1
|b̅| = √(b₁² + b₂²) = 1

Мы можем увидеть, что у нас есть уравнение, содержащее скалярное и векторное произведение:
(a̅+2b̅)(4a̅+3b̅) = 5

Раскрываем скобки:
(4a̅² + 3a̅b̅ + 8ab̅ + 6b̅²) = 5

Так как |a̅| = |b̅| = 1, то a̅² = b̅² = 1:
(4 + 3a̅b̅ + 8ab̅ + 6) = 5
(3a̅b̅ + 8ab̅ + 10) = 5
3a̅b̅ + 8ab̅ = -5

Мы можем выразить скалярное произведение a̅b̅ через координаты векторов:
a̅b̅ = a₁b₁ + a₂b₂

Подставляем это значение в уравнение:
3(a₁b₁ + a₂b₂) + 8(a₁ + a₂) = -5
3a₁b₁ + 3a₂b₂ + 8a₁ + 8a₂ = -5

Учитывая, что |a̅| = |b̅| = 1, мы также можем легко выразить сумму a̅ + b̅ через координаты векторов:
a̅ + b̅ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

Поэтому:
8(a₁ + a₂) = 8(a₁ + b₁ + a₂ + b₂) = 8(a̅ + b̅)

Возвращаемся к уравнению:
3a₁b₁ + 3a₂b₂ + 8a̅ + 8b̅ = -5
3a̅b̅ + 8(a̅ + b̅) = -5

Теперь можем заметить, что у нас есть скалярное произведение a̅b̅ и сумма a̅ + b̅:
3a̅b̅ + 8(a̅ + b̅) = -5

Подставляем альтернативные формулы:
3a̅b̅ + 8(a̅ + b̅) = -5
3a̅b̅ + 8(a̅ + a̅ + b̅) = -5
3a̅b̅ + 8(2a̅ + b̅) = -5

Заменяем векторы a̅ и b̅ на их координаты:
3(a₁b₁ + a₂b₂) + 8(2a₁ + a₂ + b₁ + b₂) = -5
3a₁b₁ + 3a₂b₂ + 16a₁ + 8a₂ + 8b₁ + 8b₂ = -5

Теперь, у нас есть два уравнения:
3a₁b₁ + 3a₂b₂ + 8a₁ + 8a₂ = -5
3a₁b₁ + 3a₂b₂ + 8b₁ + 8b₂ = -5

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a₁b₁ и a₂b₂. Зная эти значения, мы можем найти косинус угла между a̅ и b̅, используя формулу:
cosθ = a̅b̅ / (|a̅| * |b̅|)

Решение системы уравнений и подстановка значений даст нам окончательный ответ.