y = 1/cos(x)^(2)

$$f{left (x right )} = frac{1}{cos^{2}{left (x right )}}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$frac{1}{cos^{2}{left (x right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(cos(x)^2).
$$frac{1}{cos^{2}{left (0 right )}}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

(pi, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[pi, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} frac{1}{cos^{2}{left (x right )}} = langle 0, inftyrangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle 0, inftyrangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(cos(x)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x lim_{x to infty}left(frac{1}{x cos^{2}{left (x right )}}right)$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$frac{1}{cos^{2}{left (x right )}} = frac{1}{cos^{2}{left (x right )}}$$
– Да
$$frac{1}{cos^{2}{left (x right )}} = – frac{1}{cos^{2}{left (x right )}}$$
– Нет
значит, функция
является
чётной