log(1/3)*(2-x)>log(1/5)*(2*x+4)

$$left(- x + 2right) log{left (frac{1}{3} right )} > left(2 x + 4right) log{left (frac{1}{5} right )}$$

Дано неравенство:
$$left(- x + 2right) log{left (frac{1}{3} right )} > left(2 x + 4right) log{left (frac{1}{5} right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(- x + 2right) log{left (frac{1}{3} right )} = left(2 x + 4right) log{left (frac{1}{5} right )}$$
Решаем:
Дано уравнение:

log(1/3)*(2-x) = log(1/5)*(2*x+4)

Раскрываем выражения:

-2*log(3) + x*log(3) = log(1/5)*(2*x+4)

-2*log(3) + x*log(3) = -4*log(5) – 2*x*log(5)

Сокращаем, получаем:

-2*log(3) + 4*log(5) + x*log(3) + 2*x*log(5) = 0

Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-2*log3 + 4*log5 + x*log3 + 2*x*log5 = 0

Разделим обе части ур-ния на (-2*log(3) + 4*log(5) + x*log(3) + 2*x*log(5))/x

x = 0 / ((-2*log(3) + 4*log(5) + x*log(3) + 2*x*log(5))/x)

Получим ответ: x = 2*(-log(25) + log(3))/log(75)
$$x_{1} = frac{1}{log{left (75 right )}} left(- 2 log{left (25 right )} + 2 log{left (3 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{log{left (75 right )}} left(- 2 log{left (25 right )} + 2 log{left (3 right )}right)$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{log{left (75 right )}} left(- 2 log{left (25 right )} + 2 log{left (3 right )}right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

2*(-log(25) + log(3)) 1
——————— – —
1 10
log (75)

=
$$frac{1}{log{left (75 right )}} left(- 2 log{left (25 right )} + 2 log{left (3 right )}right) – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(- x + 2right) log{left (frac{1}{3} right )} > left(2 x + 4right) log{left (frac{1}{5} right )}$$

/ 2*(-log(25) + log(3)) 1 / /2*(-log(25) + log(3)) 1
log(1/3)*|2 – ——————— – –| > log(1/5)*|2*|——————— – –| + 4|
| 1 10| | | 1 10| |
log (75) / log (75) / /

/21 2*(-log(25) + log(3)) /19 4*(-log(25) + log(3))
-|– – ———————|*log(3) > -|– + ———————|*log(5)
10 log(75) / 5 log(75) /

Тогда
$$x < frac{1}{log{left (75 right )}} left(- 2 log{left (25 right )} + 2 log{left (3 right )}right)$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > frac{1}{log{left (75 right )}} left(- 2 log{left (25 right )} + 2 log{left (3 right )}right)$$

_____
/
——-ο——-
x1

/ 2*(-log(25) + log(3))
And|x < oo, --------------------- < x| log(75) /

$$x < infty wedge frac{1}{log{left (75 right )}} left(- 2 log{left (25 right )} + 2 log{left (3 right )}right) < x$$

2*(-2*log(5) + log(3))
(———————-, oo)
log(75)

$$x in left(frac{1}{log{left (75 right )}} left(- 4 log{left (5 right )} + 2 log{left (3 right )}right), inftyright)$$