y = 1/sin(x)

$$f{left (x right )} = frac{1}{sin{left (x right )}}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$frac{1}{sin{left (x right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/sin(x).
$$frac{1}{sin{left (0 right )}}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = tilde{infty}$$
зн.f не пересекает Y

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

pi
(–, 1)
2

3*pi
(—-, -1)
2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} frac{1}{sin{left (x right )}} = langle -infty, inftyrangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle -infty, inftyrangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x lim_{x to infty}left(frac{1}{x sin{left (x right )}}right)$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$frac{1}{sin{left (x right )}} = – frac{1}{sin{left (x right )}}$$
– Нет
$$frac{1}{sin{left (x right )}} = – frac{-1}{sin{left (x right )}}$$
– Да
значит, функция
является
нечётной