y = (2+cos(x))/(3-sin(x))

$$f{left (x right )} = frac{cos{left (x right )} + 2}{- sin{left (x right )} + 3}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$frac{cos{left (x right )} + 2}{- sin{left (x right )} + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2 + cos(x))/(3 – sin(x)).
$$frac{cos{left (0 right )} + 2}{- sin{left (0 right )} + 3}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – 2 {atan}{left (3 + 2 sqrt{3} right )}$$
$$x_{2} = – 2 {atan}{left (- 2 sqrt{3} + 3 right )}$$
Зн. экстремумы в точках:

/ / ___
/ ___ 2 + cos2*atan3 + 2*/ 3 //
(-2*atan3 + 2*/ 3 /, —————————-)
/ / ___
3 + sin2*atan3 + 2*/ 3 //

/ / ___
/ ___ 2 + cos2*atan3 – 2*/ 3 //
(-2*atan3 – 2*/ 3 /, —————————-)
/ / ___
3 + sin2*atan3 – 2*/ 3 //

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = – 2 {atan}{left (3 + 2 sqrt{3} right )}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = – 2 {atan}{left (- 2 sqrt{3} + 3 right )}$$
Убывает на промежутках

[-2*atan(3 + 2*sqrt(3)), -2*atan(-2*sqrt(3) + 3)]

Возрастает на промежутках

(-oo, -2*atan(3 + 2*sqrt(3))] U [-2*atan(-2*sqrt(3) + 3), oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 {atan}{left (frac{3}{22} + frac{1}{22 sqrt[6]{27 + sqrt{854}}} sqrt{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}} + frac{sqrt{2}}{22 sqrt[6]{27 + sqrt{854}} sqrt[4]{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}}} sqrt{- 22 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}} sqrt{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}} + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} sqrt{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}} + 110 sqrt{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}} + 2205 sqrt{27 + sqrt{854}}} right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (- frac{sqrt{2}}{22 sqrt[6]{27 + sqrt{854}} sqrt[4]{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}}} sqrt{- 22 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}} sqrt{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}} + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} sqrt{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}} + 110 sqrt{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}} + 2205 sqrt{27 + sqrt{854}}} + frac{3}{22} + frac{1}{22 sqrt[6]{27 + sqrt{854}}} sqrt{-220 + 9 sqrt[3]{27 + sqrt{854}} + 44 left(27 + sqrt{854}right)^{frac{2}{3}}} right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 2*atan(-sqrt(2)*sqrt(-22*(27 + sqrt(854))**(2/3)*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3)*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 110*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 2205*sqrt(27 + sqrt(854)))/(22*(27 + sqrt(854))**(1/6)*(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3))**(1/4)) + 3/22 + sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3))/(22*(27 + sqrt(854))**(1/6)))] U [2*atan(3/22 + sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3))/(22*(27 + sqrt(854))**(1/6)) + sqrt(2)*sqrt(-22*(27 + sqrt(854))**(2/3)*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3)*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 110*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 2205*sqrt(27 + sqrt(854)))/(22*(27 + sqrt(854))**(1/6)*(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3))**(1/4))), oo)

Выпуклая на промежутках

[2*atan(-sqrt(2)*sqrt(-22*(27 + sqrt(854))**(2/3)*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3)*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 110*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 2205*sqrt(27 + sqrt(854)))/(22*(27 + sqrt(854))**(1/6)*(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3))**(1/4)) + 3/22 + sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3))/(22*(27 + sqrt(854))**(1/6))), 2*atan(3/22 + sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3))/(22*(27 + sqrt(854))**(1/6)) + sqrt(2)*sqrt(-22*(27 + sqrt(854))**(2/3)*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3)*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 110*sqrt(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3)) + 2205*sqrt(27 + sqrt(854)))/(22*(27 + sqrt(854))**(1/6)*(-220 + 9*(27 + sqrt(854))**(1/3) + 44*(27 + sqrt(854))**(2/3))**(1/4)))]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{cos{left (x right )} + 2}{- sin{left (x right )} + 3}right) = frac{2}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = frac{2}{3}$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2 + cos(x))/(3 – sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{cos{left (x right )} + 2}{x left(- sin{left (x right )} + 3right)}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$frac{cos{left (x right )} + 2}{- sin{left (x right )} + 3} = frac{cos{left (x right )} + 2}{sin{left (x right )} + 3}$$
– Нет
$$frac{cos{left (x right )} + 2}{- sin{left (x right )} + 3} = – frac{cos{left (x right )} + 2}{sin{left (x right )} + 3}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной