y = 2*x^3+3*x^2-36*x-21

$$f{left (x right )} = – 36 x + 2 x^{3} + 3 x^{2} – 21$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 36 x + 2 x^{3} + 3 x^{2} – 21 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – frac{1}{2} + frac{25}{4 sqrt[3]{frac{5}{8} + frac{5 i}{2} sqrt{39}}} + sqrt[3]{frac{5}{8} + frac{5 i}{2} sqrt{39}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -4.7964006788$$
$$x_{2} = -0.566682480384$$
$$x_{3} = 3.86308315919$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 + 3*x^2 – 36*x – 21.
$$-21 + 2 cdot 0^{3} + 3 cdot 0^{2} – 0$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = -21$$
Точка:

(0, -21)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3, 60)

(2, -65)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -3$$
Убывает на промежутках

(-oo, -3] U [2, oo)

Возрастает на промежутках

[-3, 2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1/2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(- 36 x + 2 x^{3} + 3 x^{2} – 21right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 + 3*x^2 – 36*x – 21, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(- 36 x + 2 x^{3} + 3 x^{2} – 21right)right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 36 x + 2 x^{3} + 3 x^{2} – 21 = – 2 x^{3} + 3 x^{2} + 36 x – 21$$
– Нет
$$- 36 x + 2 x^{3} + 3 x^{2} – 21 = – -1 cdot 2 x^{3} – 3 x^{2} – 36 x + 21$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной