y = -3*x^2+6*x+9

$$f{left (x right )} = – 3 x^{2} + 6 x + 9$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 x^{2} + 6 x + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -1$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -3*x^2 + 6*x + 9.
$$- 0 + 0 cdot 6 + 9$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 9$$
Точка:

(0, 9)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 12)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1]

Возрастает на промежутках

[1, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(- 3 x^{2} + 6 x + 9right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -3*x^2 + 6*x + 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(- 3 x^{2} + 6 x + 9right)right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 3 x^{2} + 6 x + 9 = – 3 x^{2} – 6 x + 9$$
– Нет
$$- 3 x^{2} + 6 x + 9 = – -1 cdot 3 x^{2} – – 6 x – 9$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной