y = 4*cos(4*x)

$$f{left (x right )} = 4 cos{left (4 x right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 cos{left (4 x right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = frac{pi}{8}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{8}$$
Численное решение
$$x_{1} = -100.138265833$$
$$x_{2} = 1.96349540849$$
$$x_{3} = 93.855080526$$
$$x_{4} = -82.074108075$$
$$x_{5} = -61.6537558267$$
$$x_{6} = 100.138265833$$
$$x_{7} = -5.89048622548$$
$$x_{8} = 88.3572933822$$
$$x_{9} = 27.8816348006$$
$$x_{10} = 62.4391539901$$
$$x_{11} = 26.3108384738$$
$$x_{12} = 71.8639319509$$
$$x_{13} = 42.0188017418$$
$$x_{14} = 4.31968989869$$
$$x_{15} = -13.7444678595$$
$$x_{16} = 30.2378292908$$
$$x_{17} = 89.928089709$$
$$x_{18} = 96.9966731796$$
$$x_{19} = -45.9457925588$$
$$x_{20} = -27.8816348006$$
$$x_{21} = 60.0829594999$$
$$x_{22} = 53.7997741927$$
$$x_{23} = 56.1559686829$$
$$x_{24} = -75.7909227679$$
$$x_{25} = 8.24668071567$$
$$x_{26} = 96.2112750162$$
$$x_{27} = -79.7179135848$$
$$x_{28} = 82.074108075$$
$$x_{29} = 9.81747704247$$
$$x_{30} = -71.8639319509$$
$$x_{31} = -17.6714586764$$
$$x_{32} = -31.8086256176$$
$$x_{33} = -83.6449044018$$
$$x_{34} = -2.74889357189$$
$$x_{35} = -53.7997741927$$
$$x_{36} = -65.5807466437$$
$$x_{37} = 52.2289778659$$
$$x_{38} = 34.1648201078$$
$$x_{39} = 5.89048622548$$
$$x_{40} = -97.782071343$$
$$x_{41} = -75.0055246045$$
$$x_{42} = -16.1006623496$$
$$x_{43} = -9.81747704247$$
$$x_{44} = -86.001098892$$
$$x_{45} = 49.8727833757$$
$$x_{46} = 70.2931356241$$
$$x_{47} = 31.8086256176$$
$$x_{48} = 92.2842841992$$
$$x_{49} = -68.7223392973$$
$$x_{50} = 22.3838476568$$
$$x_{51} = -67.9369411339$$
$$x_{52} = 40.448005415$$
$$x_{53} = -89.928089709$$
$$x_{54} = 74.2201264411$$
$$x_{55} = -56.1559686829$$
$$x_{56} = 54.5851723561$$
$$x_{57} = 0.392699081699$$
$$x_{58} = 78.147117258$$
$$x_{59} = 67.9369411339$$
$$x_{60} = -1.96349540849$$
$$x_{61} = -57.7267650097$$
$$x_{62} = -49.8727833757$$
$$x_{63} = 86.001098892$$
$$x_{64} = 104.850654814$$
$$x_{65} = 66.3661448071$$
$$x_{66} = -35.7356164346$$
$$x_{67} = -21.5984494934$$
$$x_{68} = -20.0276531666$$
$$x_{69} = -43.5895980686$$
$$x_{70} = 84.4303025652$$
$$x_{71} = -93.855080526$$
$$x_{72} = -64.0099503169$$
$$x_{73} = -42.0188017418$$
$$x_{74} = -38.0918109248$$
$$x_{75} = -34.1648201078$$
$$x_{76} = -10.6028752059$$
$$x_{77} = -23.9546439836$$
$$x_{78} = -60.0829594999$$
$$x_{79} = -39.6626072516$$
$$x_{80} = -87.5718952188$$
$$x_{81} = -12.1736715327$$
$$x_{82} = -20.81305133$$
$$x_{83} = -96.9966731796$$
$$x_{84} = 38.0918109248$$
$$x_{85} = 23.9546439836$$
$$x_{86} = 16.1006623496$$
$$x_{87} = -78.147117258$$
$$x_{88} = 44.374996232$$
$$x_{89} = 20.0276531666$$
$$x_{90} = 122.914812572$$
$$x_{91} = 45.9457925588$$
$$x_{92} = 64.0099503169$$
$$x_{93} = 48.3019870489$$
$$x_{94} = 12.1736715327$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4*cos(4*x).
$$4 cos{left (0 cdot 4 right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 4)

pi
(–, -4)
4

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi/4]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{8}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{8}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/8, 3*pi/8]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/8] U [3*pi/8, oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(4 cos{left (4 x right )}right) = langle -4, 4rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle -4, 4rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*cos(4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{4}{x} cos{left (4 x right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 cos{left (4 x right )} = 4 cos{left (4 x right )}$$
– Да
$$4 cos{left (4 x right )} = – 4 cos{left (4 x right )}$$
– Нет
значит, функция
является
чётной