y = log(1+3*x^2)

$$f{left (x right )} = log{left (3 x^{2} + 1 right )}$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(1 + 3*x^2).
$$log{left (3 cdot 0^{2} + 1 right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{3}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} log{left (3 x^{2} + 1 right )} = infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1 + 3*x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} log{left (3 x^{2} + 1 right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$log{left (3 x^{2} + 1 right )} = log{left (3 x^{2} + 1 right )}$$
– Да
$$log{left (3 x^{2} + 1 right )} = – log{left (3 x^{2} + 1 right )}$$
– Нет
значит, функция
является
чётной