y = sqrt(x-x^3)

$$f{left (x right )} = sqrt{- x^{3} + x}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$sqrt{- x^{3} + x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – frac{sqrt[6]{-1} sqrt{3}}{3} + frac{left(-1right)^{frac{5}{6}} sqrt{3}}{3}$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x – x^3).
$$sqrt{- 0}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

___ ___ 4 ___
-/ 3 I*/ 2 */ 3
(——-, ————-)
3 3

___ ___ 4 ___
/ 3 / 2 */ 3
(—–, ———–)
3 3

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, sqrt(3)/3]

Возрастает на промежутках

[sqrt(3)/3, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – sqrt{1 + frac{2 sqrt{3}}{3}}$$
$$x_{2} = sqrt{1 + frac{2 sqrt{3}}{3}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -sqrt(1 + 2*sqrt(3)/3)]

Выпуклая на промежутках

[-sqrt(1 + 2*sqrt(3)/3), oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} sqrt{- x^{3} + x} = infty$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = infty i$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x – x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} sqrt{- x^{3} + x}right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = infty i x$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$sqrt{- x^{3} + x} = sqrt{x^{3} – x}$$
– Нет
$$sqrt{- x^{3} + x} = – sqrt{x^{3} – x}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной