sqrt(6-3*x)+x>=2

$$x + sqrt{- 3 x + 6} geq 2$$

Дано неравенство:
$$x + sqrt{- 3 x + 6} geq 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + sqrt{- 3 x + 6} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x + sqrt{- 3 x + 6} = 2$$
$$sqrt{- 3 x + 6} = – x + 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- 3 x + 6 = left(- x + 2right)^{2}$$
$$- 3 x + 6 = x^{2} – 4 x + 4$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + x + 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 1$$
$$c = 2$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(1)^2 – 4 * (-1) * (2) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$

Т.к.
$$sqrt{- 3 x + 6} = – x + 2$$
и
$$sqrt{- 3 x + 6} geq 0$$
то

2 – x >= 0

или
$$x leq 2$$
$$-infty < x$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
=
$$- frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + sqrt{- 3 x + 6} geq 2$$

_____________
/ 3*(-11) 11
/ 6 – ——- – — >= 2
/ 10 10

_____
11 / 930
– — + ——- >= 2
10 10

но

_____
11 / 930
– — + ——- < 2 10 10

Тогда
$$x leq -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -1 wedge x leq 2$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$-1 leq x wedge x leq 2$$

[-1, 2]

$$x in left[-1, 2right]$$