y = cos(x/2)

$$f{left (x right )} = cos{left (frac{x}{2} right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$cos{left (frac{x}{2} right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = pi$$
$$x_{2} = 3 pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 9.42477796077$$
$$x_{2} = 84.8230016469$$
$$x_{3} = -53.407075111$$
$$x_{4} = 65.9734457254$$
$$x_{5} = 3.14159265359$$
$$x_{6} = 15.7079632679$$
$$x_{7} = -3.14159265359$$
$$x_{8} = 40.8407044967$$
$$x_{9} = -59.6902604182$$
$$x_{10} = 97.3893722613$$
$$x_{11} = 78.5398163397$$
$$x_{12} = -34.5575191895$$
$$x_{13} = 28.2743338823$$
$$x_{14} = 7517042.68028$$
$$x_{15} = -91.1061869541$$
$$x_{16} = 72.2566310326$$
$$x_{17} = -9.42477796077$$
$$x_{18} = -65.9734457254$$
$$x_{19} = -72.2566310326$$
$$x_{20} = 47.1238898038$$
$$x_{21} = -84.8230016469$$
$$x_{22} = -9591.28237141$$
$$x_{23} = 91.1061869541$$
$$x_{24} = 59.6902604182$$
$$x_{25} = -47.1238898038$$
$$x_{26} = -21.9911485751$$
$$x_{27} = -97.3893722613$$
$$x_{28} = 34.5575191895$$
$$x_{29} = 21.9911485751$$
$$x_{30} = -160.221225333$$
$$x_{31} = 53.407075111$$
$$x_{32} = -78.5398163397$$
$$x_{33} = -40.8407044967$$
$$x_{34} = -15.7079632679$$
$$x_{35} = -28.2743338823$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x/2).
$$cos{left (frac{0}{2} right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

(2*pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2 pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [2*pi, oo)

Возрастает на промежутках

[0, 2*pi]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = pi$$
$$x_{2} = 3 pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi, 3*pi]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi] U [3*pi, oo)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} cos{left (frac{x}{2} right )} = langle -1, 1rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle -1, 1rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} cos{left (frac{x}{2} right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$cos{left (frac{x}{2} right )} = cos{left (frac{x}{2} right )}$$
– Нет
$$cos{left (frac{x}{2} right )} = – cos{left (frac{x}{2} right )}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной