y = exp(sin(x))

$$f{left (x right )} = e^{sin{left (x right )}}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{sin{left (x right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в exp(sin(x)).
$$e^{sin{left (0 right )}}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

pi
(–, E)
2

3*pi -1
(—-, e )
2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 {atan}{left (frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} + frac{sqrt{2}}{2} sqrt{1 + sqrt{5}} right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (- frac{sqrt{2}}{2} sqrt{1 + sqrt{5}} + frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 2*atan(-sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(5))/2 + 1/2 + sqrt(5)/2)] U [2*atan(1/2 + sqrt(5)/2 + sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(5))/2), oo)

Выпуклая на промежутках

[2*atan(-sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(5))/2 + 1/2 + sqrt(5)/2), 2*atan(1/2 + sqrt(5)/2 + sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(5))/2)]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} e^{sin{left (x right )}} = langle e^{-1}, erangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle e^{-1}, erangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} e^{sin{left (x right )}}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{sin{left (x right )}} = e^{- sin{left (x right )}}$$
– Нет
$$e^{sin{left (x right )}} = – e^{- sin{left (x right )}}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной