Дано

$$f{left (x right )} = left(frac{sin{left (x + 2 right )}}{cos^{2}{left (x + 2 right )}}right)^{2}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -0.429203673205103$$
$$x_{2} = 2.71238898038469$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$left(frac{sin{left (x + 2 right )}}{cos^{2}{left (x + 2 right )}}right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 + pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 70.2566310277$$
$$x_{2} = -20.8495561207$$
$$x_{3} = -49.1238900493$$
$$x_{4} = 29.4159267865$$
$$x_{5} = 26.2743338652$$
$$x_{6} = 23.1327410189$$
$$x_{7} = 51.4070756765$$
$$x_{8} = 38.8407042561$$
$$x_{9} = 95.3893725149$$
$$x_{10} = -11.4247781267$$
$$x_{11} = 16.8495556796$$
$$x_{12} = 10.5663704519$$
$$x_{13} = 1.14159244884$$
$$x_{14} = 89.1061867314$$
$$x_{15} = -74.2566308741$$
$$x_{16} = -17.7079632965$$
$$x_{17} = -5.14159289677$$
$$x_{18} = 51.4070753627$$
$$x_{19} = -33.4159267052$$
$$x_{20} = -71.1150386253$$
$$x_{21} = 38.8407039199$$
$$x_{22} = -89.9645943588$$
$$x_{23} = -36.5575189701$$
$$x_{24} = -23.9911485865$$
$$x_{25} = -52.2654822953$$
$$x_{26} = 54.5486676091$$
$$x_{27} = -42.840704266$$
$$x_{28} = -5.14159311568$$
$$x_{29} = -20.8495556944$$
$$x_{30} = 23.1327414478$$
$$x_{31} = 67.1150381602$$
$$x_{32} = -33.415926796$$
$$x_{33} = 45.1238900184$$
$$x_{34} = -86.8230014101$$
$$x_{35} = 4.28318528425$$
$$x_{36} = -42.8407046898$$
$$x_{37} = -55.4070752836$$
$$x_{38} = -83.681409038$$
$$x_{39} = 67.1150385886$$
$$x_{40} = 82.8230014093$$
$$x_{41} = 79.6814091761$$
$$x_{42} = -86.8230018263$$
$$x_{43} = -64.8318532584$$
$$x_{44} = -67.973445765$$
$$x_{45} = 60.8318528327$$
$$x_{46} = -2$$
$$x_{47} = 73.3982239389$$
$$x_{48} = -39.6991118772$$
$$x_{49} = 95.3893727097$$
$$x_{50} = -93.1061872003$$
$$x_{51} = 85.9645943358$$
$$x_{52} = -27.1327416321$$
$$x_{53} = 32.5575190305$$
$$x_{54} = -93.1061872013$$
$$x_{55} = -64.8318528379$$
$$x_{56} = 35.6991120192$$
$$x_{57} = 41.9822971694$$
$$x_{58} = 98.5309647666$$
$$x_{59} = 7.42477821024$$
$$x_{60} = 45.1238895894$$
$$x_{61} = 57.6902605977$$
$$x_{62} = -1736.15914476$$
$$x_{63} = -14.5663703661$$
$$x_{64} = 73.3982241945$$
$$x_{65} = 63.9734457529$$
$$x_{66} = -14.5663700417$$
$$x_{67} = -58.5486675192$$
$$x_{68} = 89.1061871584$$
$$x_{69} = -30.2743337166$$
$$x_{70} = -27.1327414731$$
$$x_{71} = 76.5398161878$$
$$x_{72} = 19.9911485852$$
$$x_{73} = 16.8495554002$$
$$x_{74} = 7.4247785908$$
$$x_{75} = 29.4159271479$$
$$x_{76} = -61.6902604576$$
$$x_{77} = 82.8230010167$$
$$x_{78} = -99.3893724404$$
$$x_{79} = 60.8318524523$$
$$x_{80} = 48.2654824463$$
$$x_{81} = -36.5575189426$$
$$x_{82} = 13.7079634407$$
$$x_{83} = 1.14159287686$$
$$x_{84} = -71.1150386737$$
$$x_{85} = 92.2477796094$$
$$x_{86} = -49.1238901511$$
$$x_{87} = -77.398223862$$
$$x_{88} = -96.247779453$$
$$x_{89} = -108.814150358$$
$$x_{90} = -80.5398160958$$
$$x_{91} = -8.28318513794$$
$$x_{92} = -45.9822971746$$

Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (sin(2 + x)/cos(2 + x)^2)^2.
$$left(frac{sin{left (2 right )}}{cos^{2}{left (2 right )}}right)^{2}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = frac{sin^{2}{left (2 right )}}{cos^{4}{left (2 right )}}$$
Точка:

(0, sin(2)^2/cos(2)^4)

Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 + pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, 0)

(-2 + pi, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2$$
$$x_{2} = -2 + pi$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-2 + pi, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2]

Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -0.429203673205103$$
$$x_{2} = 2.71238898038469$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = lim_{x to infty} left(frac{sin{left (x + 2 right )}}{cos^{2}{left (x + 2 right )}}right)^{2}$$

Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (sin(2 + x)/cos(2 + x)^2)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x lim_{x to infty}left(frac{1}{x} sin^{2}{left (x + 2 right )} frac{1}{cos^{4}{left (x + 2 right )}}right)$$

Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$left(frac{sin{left (x + 2 right )}}{cos^{2}{left (x + 2 right )}}right)^{2} = frac{sin^{2}{left (x – 2 right )}}{cos^{4}{left (x – 2 right )}}$$
– Нет
$$left(frac{sin{left (x + 2 right )}}{cos^{2}{left (x + 2 right )}}right)^{2} = – frac{sin^{2}{left (x – 2 right )}}{cos^{4}{left (x – 2 right )}}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
   
4.94
ketiss35
Дипломные работы, отчеты по практике, курсовые работы, контрольные, рефераты, статьи, тесты, эссе, доработка ваших работ по праву, психологии, экономике, маркетингу, менеджменту, социологии и т.п. Индивидуальный подход. Опыт 10 лет.