y = sin(x)+3

$$f{left (x right )} = sin{left (x right )} + 3$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$sin{left (x right )} + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + 3.
$$sin{left (0 right )} + 3$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

pi
(–, 4)
2

3*pi
(—-, 2)
2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(sin{left (x right )} + 3right) = langle 2, 4rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle 2, 4rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(sin{left (x right )} + 3right)right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$sin{left (x right )} + 3 = – sin{left (x right )} + 3$$
– Нет
$$sin{left (x right )} + 3 = – -1 sin{left (x right )} – 3$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной