log(sqrt(7))*x^2/2-log(1/7)*(x+2)

$$frac{x^{2}}{2} log{left (sqrt{7} right )} – left(x + 2right) log{left (frac{1}{7} right )} leq left(- x + 1right) 2 log{left (7 right )} + left(x + 10right) 2 log{left (49 right )}$$

Дано неравенство:
$$frac{x^{2}}{2} log{left (sqrt{7} right )} – left(x + 2right) log{left (frac{1}{7} right )} leq left(- x + 1right) 2 log{left (7 right )} + left(x + 10right) 2 log{left (49 right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{x^{2}}{2} log{left (sqrt{7} right )} – left(x + 2right) log{left (frac{1}{7} right )} = left(- x + 1right) 2 log{left (7 right )} + left(x + 10right) 2 log{left (49 right )}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$frac{x^{2}}{2} log{left (sqrt{7} right )} – left(x + 2right) log{left (frac{1}{7} right )} = left(- x + 1right) 2 log{left (7 right )} + left(x + 10right) 2 log{left (49 right )}$$
в
$$frac{x^{2}}{2} log{left (sqrt{7} right )} – left(x + 2right) log{left (frac{1}{7} right )} + – 2 left(- x + 1right) log{left (7 right )} – 2 left(x + 10right) log{left (49 right )} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$frac{x^{2}}{2} log{left (sqrt{7} right )} – left(x + 2right) log{left (frac{1}{7} right )} + – 2 left(- x + 1right) log{left (7 right )} – 2 left(x + 10right) log{left (49 right )} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$frac{x^{2}}{4} log{left (7 right )} – x log{left (7 right )} – 40 log{left (7 right )} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = frac{1}{4} log{left (7 right )}$$
$$b = – log{left (7 right )}$$
$$c = – 40 log{left (7 right )}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-log(7))^2 – 4 * (log(7)/4) * (-40*log(7)) = 41*log(7)^2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(2 log{left (7 right )} + 2 sqrt{41} log{left (7 right )}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(- 2 sqrt{41} log{left (7 right )} + 2 log{left (7 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(2 log{left (7 right )} + 2 sqrt{41} log{left (7 right )}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(- 2 sqrt{41} log{left (7 right )} + 2 log{left (7 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(2 log{left (7 right )} + 2 sqrt{41} log{left (7 right )}right)$$
$$x_{2} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(- 2 sqrt{41} log{left (7 right )} + 2 log{left (7 right )}right)$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(- 2 sqrt{41} log{left (7 right )} + 2 log{left (7 right )}right)$$
$$x_{1} = frac{1}{log{left (7 right )}} left(2 log{left (7 right )} + 2 sqrt{41} log{left (7 right )}right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

/ ____
2* – / 41 *log(7) + log(7)/ 1
—————————- – —
1 10
log (7)

=
$$frac{1}{log{left (7 right )}} left(- 2 sqrt{41} log{left (7 right )} + 2 log{left (7 right )}right) – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{x^{2}}{2} log{left (sqrt{7} right )} – left(x + 2right) log{left (frac{1}{7} right )} leq left(- x + 1right) 2 log{left (7 right )} + left(x + 10right) 2 log{left (49 right )}$$

2
/ / ____
/ ___ |2* – / 41 *log(7) + log(7)/ 1 |
log/ 7 /*|—————————- – –|
| 1 10| / / ____ / / ____ / / ____
log (7) / |2* – / 41 *log(7) + log(7)/ 1 | | 2* – / 41 *log(7) + log(7)/ 1 | |2* – / 41 *log(7) + log(7)/ 1 |
———————————————– – log(1/7)*|—————————- – — + 2| <= 2*log(7)*|1 - ---------------------------- - --| + 2*log(49)*|---------------------------- - -- + 10| 1 | 1 10 | | 1 10| | 1 10 | 2 log (7) / log (7) / log (7) /

2
/ / ____ / / ____ / / ____
| 1 2* – / 41 *log(7) + log(7)/| / ___ |11 2* – / 41 *log(7) + log(7)/| |99 2* – / 41 *log(7) + log(7)/|
/ / ____ |- — + —————————-| *log/ 7 / <= 2*|-- - ----------------------------|*log(7) + 2*|-- + ----------------------------|*log(49) |19 2* - / 41 *log(7) + log(7)/| 10 log(7) / 10 log(7) / 10 log(7) / |-- + ----------------------------|*log(7) + ------------------------------------------------- 10 log(7) / 2

но

2
/ / ____ / / ____ / / ____
| 1 2* – / 41 *log(7) + log(7)/| / ___ |11 2* – / 41 *log(7) + log(7)/| |99 2* – / 41 *log(7) + log(7)/|
/ / ____ |- — + —————————-| *log/ 7 / >= 2*|– – —————————-|*log(7) + 2*|– + —————————-|*log(49)
|19 2* – / 41 *log(7) + log(7)/| 10 log(7) / 10 log(7) / 10 log(7) /
|– + —————————-|*log(7) + ————————————————-
10 log(7) / 2

Тогда
$$x leq frac{1}{log{left (7 right )}} left(- 2 sqrt{41} log{left (7 right )} + 2 log{left (7 right )}right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{1}{log{left (7 right )}} left(- 2 sqrt{41} log{left (7 right )} + 2 log{left (7 right )}right) wedge x leq frac{1}{log{left (7 right )}} left(2 log{left (7 right )} + 2 sqrt{41} log{left (7 right )}right)$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

$$x leq 2 + 2 sqrt{41} wedge – 2 sqrt{41} + 2 leq x$$

____ ____
[2 – 2*/ 41 , 2 + 2*/ 41 ]

$$x in left[- 2 sqrt{41} + 2, 2 + 2 sqrt{41}right]$$