sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2)

$$- sqrt{x – 1} + sqrt{x + 4} > sqrt{x – 2}$$

Дано неравенство:
$$- sqrt{x – 1} + sqrt{x + 4} > sqrt{x – 2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- sqrt{x – 1} + sqrt{x + 4} = sqrt{x – 2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- sqrt{x – 1} + sqrt{x + 4} = sqrt{x – 2}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$left(- sqrt{x – 1} + sqrt{x + 4}right)^{2} = x – 2$$
или
$$left(-1right)^{2} left(x – 2right) + – 2 sqrt{left(x – 2right) left(x + 4right)} + 1^{2} left(x + 4right) = x – 2$$
или
$$2 x – 2 sqrt{x^{2} + 2 x – 8} + 2 = x – 2$$
преобразуем:
$$- 2 sqrt{x^{2} + 2 x – 8} = – x – 4$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$4 x^{2} + 8 x – 32 = left(- x – 4right)^{2}$$
$$4 x^{2} + 8 x – 32 = x^{2} + 8 x + 16$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$3 x^{2} – 48 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 0$$
$$c = -48$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (3) * (-48) = 576

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -4$$

Т.к.
$$sqrt{x^{2} + 2 x – 8} = frac{x}{2} + 2$$
и
$$sqrt{x^{2} + 2 x – 8} geq 0$$
то
$$frac{x}{2} + 2 geq 0$$
или
$$-4 leq x$$
$$x < infty$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -4$$
проверяем:
$$x_{1} = 4$$
$$- sqrt{x_{1} – 2} – sqrt{x_{1} – 1} + sqrt{x_{1} + 4} = 0$$
=
$$- sqrt{-2 + 4} + – sqrt{-1 + 4} + sqrt{4 + 4} = 0$$
=

sqrt(2) – sqrt(3) = 0

– Нет
$$x_{2} = -4$$
$$- sqrt{x_{2} – 2} – sqrt{x_{2} – 1} + sqrt{x_{2} + 4} = 0$$
=
$$- sqrt{-4 – 2} + sqrt{-4 + 4} – sqrt{-4 – 1} = 0$$
=

-i*sqrt(5) – i*sqrt(6) = 0

– Нет
Тогда, окончательный ответ:
Данное ур-ние не имеет решений
$$x_{1} = – frac{1}{3} + frac{2 sqrt{31}}{3}$$
$$x_{1} = – frac{1}{3} + frac{2 sqrt{31}}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{1}{3} + frac{2 sqrt{31}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + – frac{1}{3} + frac{2 sqrt{31}}{3}$$
=
$$- frac{13}{30} + frac{2 sqrt{31}}{3}$$
подставляем в выражение
$$- sqrt{x – 1} + sqrt{x + 4} > sqrt{x – 2}$$

_________________________ _________________________ _________________________
/ ____ / ____ / ____
/ 1 2*/ 31 1 / 1 2*/ 31 1 / 1 2*/ 31 1
/ – – + ——– – — + 4 – / – – + ——– – — – 1 > / – – + ——– – — – 2
/ 3 3 10 / 3 3 10 / 3 3 10

________________ _________________ _________________
/ ____ / ____ / ____
/ 107 2*/ 31 / 43 2*/ 31 > / 73 2*/ 31
/ — + ——– – / – — + ——– / – — + ——–
/ 30 3 / 30 3 / 30 3

значит решение неравенства будет при:
$$x < - frac{1}{3} + frac{2 sqrt{31}}{3}$$

_____
——-ο——-
x1

Данное неравенство не имеет решений