y = sin(x-pi/3)

$$f{left (x right )} = sin{left (x – frac{pi}{3} right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$sin{left (x – frac{pi}{3} right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = frac{4 pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -20.9439510239$$
$$x_{2} = -14.6607657168$$
$$x_{3} = -36.6519142919$$
$$x_{4} = 29.3215314335$$
$$x_{5} = 98.4365698125$$
$$x_{6} = 41.8879020479$$
$$x_{7} = 104.71975512$$
$$x_{8} = -8.37758040957$$
$$x_{9} = 48.171087355$$
$$x_{10} = -30.3687289847$$
$$x_{11} = -17.8023583703$$
$$x_{12} = 10.471975512$$
$$x_{13} = -5.23598775598$$
$$x_{14} = -5644.39480095$$
$$x_{15} = -86.9173967493$$
$$x_{16} = -83.7758040957$$
$$x_{17} = 23.0383461263$$
$$x_{18} = -61.7846555206$$
$$x_{19} = -71.2094334814$$
$$x_{20} = 60.7374579694$$
$$x_{21} = 76.4454212374$$
$$x_{22} = -77.4926187885$$
$$x_{23} = 92.1533845053$$
$$x_{24} = 13.6135681656$$
$$x_{25} = -64.9262481742$$
$$x_{26} = 7.33038285838$$
$$x_{27} = 35.6047167407$$
$$x_{28} = 51.3126800086$$
$$x_{29} = 63.879050623$$
$$x_{30} = 57.5958653158$$
$$x_{31} = 73.3038285838$$
$$x_{32} = 4.18879020479$$
$$x_{33} = 67.0206432766$$
$$x_{34} = 38.7463093943$$
$$x_{35} = 26.1799387799$$
$$x_{36} = 54.4542726622$$
$$x_{37} = -2.09439510239$$
$$x_{38} = -42.9350995991$$
$$x_{39} = 79.5870138909$$
$$x_{40} = -27.2271363311$$
$$x_{41} = -33.5103216383$$
$$x_{42} = -52.3598775598$$
$$x_{43} = -99.4837673637$$
$$x_{44} = 32.4631240871$$
$$x_{45} = -96.3421747101$$
$$x_{46} = -11.5191730632$$
$$x_{47} = -46.0766922527$$
$$x_{48} = -49.2182849062$$
$$x_{49} = 85.8701991981$$
$$x_{50} = 95.2949771589$$
$$x_{51} = -24.0855436775$$
$$x_{52} = -39.7935069455$$
$$x_{53} = 45.0294947015$$
$$x_{54} = 16.7551608191$$
$$x_{55} = -93.2005820565$$
$$x_{56} = -68.0678408278$$
$$x_{57} = -90.0589894029$$
$$x_{58} = -58.643062867$$
$$x_{59} = 89.0117918517$$
$$x_{60} = 70.1622359302$$
$$x_{61} = 19.8967534727$$
$$x_{62} = 82.7286065445$$
$$x_{63} = -80.6342114421$$
$$x_{64} = -55.5014702134$$
$$x_{65} = -74.351026135$$
$$x_{66} = 1.0471975512$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x – pi/3).
$$sin{left (- frac{pi}{3} right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = – frac{sqrt{3}}{2}$$
Точка:

(0, -sqrt(3)/2)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{5 pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:

-pi
(—-, -1)
6

5*pi /pi pi
(—-, cos|– – –|)
6 3 3 /

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = – frac{pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{5 pi}{6}$$
Убывает на промежутках

[-pi/6, 5*pi/6]

Возрастает на промежутках

(-oo, -pi/6] U [5*pi/6, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = frac{4 pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, pi/3] U [4*pi/3, oo)

Выпуклая на промежутках

[pi/3, 4*pi/3]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} sin{left (x – frac{pi}{3} right )} = langle -1, 1rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle -1, 1rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x – pi/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} sin{left (x – frac{pi}{3} right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$sin{left (x – frac{pi}{3} right )} = – sin{left (x + frac{pi}{3} right )}$$
– Нет
$$sin{left (x – frac{pi}{3} right )} = – -1 sin{left (x + frac{pi}{3} right )}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной