y = (sin(x))^2

$$f{left (x right )} = sin^{2}{left (x right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$sin^{2}{left (x right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 53.4070756765$$
$$x_{2} = 37.6991120192$$
$$x_{3} = -28.2743337166$$
$$x_{4} = -106.814150358$$
$$x_{5} = 72.2566310277$$
$$x_{6} = 69.1150385886$$
$$x_{7} = 91.1061867314$$
$$x_{8} = -47.1238901511$$
$$x_{9} = 6.28318528425$$
$$x_{10} = 59.6902605977$$
$$x_{11} = -15.7079632965$$
$$x_{12} = -84.8230014101$$
$$x_{13} = 47.1238895894$$
$$x_{14} = 97.3893725149$$
$$x_{15} = 43.9822971694$$
$$x_{16} = -50.2654822953$$
$$x_{17} = 3.14159287686$$
$$x_{18} = -62.8318528379$$
$$x_{19} = -81.681409038$$
$$x_{20} = -100.530964673$$
$$x_{21} = 75.3982239389$$
$$x_{22} = -87.9645943588$$
$$x_{23} = 34.5575190305$$
$$x_{24} = -40.840704266$$
$$x_{25} = 31.4159267865$$
$$x_{26} = 91.1061871584$$
$$x_{27} = -25.1327414731$$
$$x_{28} = 97.3893727097$$
$$x_{29} = -25.1327416321$$
$$x_{30} = 87.9645943358$$
$$x_{31} = 69.1150381602$$
$$x_{32} = 9.42477821024$$
$$x_{33} = -69.1150386737$$
$$x_{34} = 12.5663704519$$
$$x_{35} = -3.14159311568$$
$$x_{36} = 18.8495554002$$
$$x_{37} = -69.1150386253$$
$$x_{38} = 3.14159244884$$
$$x_{39} = -31.415926796$$
$$x_{40} = -72.2566308741$$
$$x_{41} = 62.8318524523$$
$$x_{42} = -94.247779453$$
$$x_{43} = 0$$
$$x_{44} = -40.8407046898$$
$$x_{45} = 31.4159271479$$
$$x_{46} = -47.1238900493$$
$$x_{47} = -1734.15914476$$
$$x_{48} = 25.1327410189$$
$$x_{49} = -18.8495561207$$
$$x_{50} = 75.3982241945$$
$$x_{51} = 25.1327414478$$
$$x_{52} = 62.8318528327$$
$$x_{53} = -12.5663703661$$
$$x_{54} = -31.4159267052$$
$$x_{55} = 53.4070753627$$
$$x_{56} = 15.7079634407$$
$$x_{57} = -34.5575189426$$
$$x_{58} = -21.9911485865$$
$$x_{59} = 84.8230014093$$
$$x_{60} = 100.530964767$$
$$x_{61} = -78.5398160958$$
$$x_{62} = 65.9734457529$$
$$x_{63} = 56.5486676091$$
$$x_{64} = -6.28318513794$$
$$x_{65} = 40.8407039199$$
$$x_{66} = -12.5663700417$$
$$x_{67} = -75.398223862$$
$$x_{68} = 40.8407042561$$
$$x_{69} = 84.8230010167$$
$$x_{70} = 94.2477796094$$
$$x_{71} = 9.4247785908$$
$$x_{72} = -43.9822971746$$
$$x_{73} = 50.2654824463$$
$$x_{74} = -65.973445765$$
$$x_{75} = 18.8495556796$$
$$x_{76} = -3.14159289677$$
$$x_{77} = -91.1061872003$$
$$x_{78} = -97.3893724404$$
$$x_{79} = -59.6902604576$$
$$x_{80} = -91.1061872013$$
$$x_{81} = -37.6991118772$$
$$x_{82} = 78.5398161878$$
$$x_{83} = 47.1238900184$$
$$x_{84} = 21.9911485852$$
$$x_{85} = -56.5486675192$$
$$x_{86} = -84.8230018263$$
$$x_{87} = -53.4070752836$$
$$x_{88} = -9.42477812668$$
$$x_{89} = -62.8318532584$$
$$x_{90} = -34.5575189701$$
$$x_{91} = -18.8495556944$$
$$x_{92} = 28.2743338652$$
$$x_{93} = 81.6814091761$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^2.
$$sin^{2}{left (0 right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{pi}{2}$$
$$x_{3} = pi$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

pi
(–, 1)
2

(pi, 0)

3*pi
(—-, 1)
2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = frac{pi}{2}$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[0, pi/2] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{3 pi}{4}$$
$$x_{2} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = frac{pi}{4}$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3*pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -pi/4] U [pi/4, 3*pi/4]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} sin^{2}{left (x right )} = langle 0, 1rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle 0, 1rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} sin^{2}{left (x right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$sin^{2}{left (x right )} = sin^{2}{left (x right )}$$
– Да
$$sin^{2}{left (x right )} = – sin^{2}{left (x right )}$$
– Нет
значит, функция
является
чётной