y = tan(|x|)-1

$$f{left (x right )} = tan{left (left|{x}right| right )} – 1$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$tan{left (left|{x}right| right )} – 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 73.042029196$$
$$x_{2} = 19.6349540849$$
$$x_{3} = -85.6083998103$$
$$x_{4} = 82.4668071567$$
$$x_{5} = 10.2101761242$$
$$x_{6} = 0.785398163397$$
$$x_{7} = 85.6083998103$$
$$x_{8} = -38.4845100065$$
$$x_{9} = -73.042029196$$
$$x_{10} = 32.2013246993$$
$$x_{11} = 51.0508806208$$
$$x_{12} = 25.9181393921$$
$$x_{13} = -63.6172512352$$
$$x_{14} = -76.1836218496$$
$$x_{15} = 57.334065928$$
$$x_{16} = -10.2101761242$$
$$x_{17} = 29.0597320457$$
$$x_{18} = -29.0597320457$$
$$x_{19} = -13.3517687778$$
$$x_{20} = -88.7499924639$$
$$x_{21} = -16.4933614313$$
$$x_{22} = -82.4668071567$$
$$x_{23} = 101.316363078$$
$$x_{24} = -69.9004365424$$
$$x_{25} = 88.7499924639$$
$$x_{26} = 76.1836218496$$
$$x_{27} = 3.92699081699$$
$$x_{28} = 60.4756585816$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = 35.3429173529$$
$$x_{31} = -57.334065928$$
$$x_{32} = 79.3252145031$$
$$x_{33} = 16.4933614313$$
$$x_{34} = -47.9092879672$$
$$x_{35} = 95.0331777711$$
$$x_{36} = -98.1747704247$$
$$x_{37} = -95.0331777711$$
$$x_{38} = 66.7588438888$$
$$x_{39} = 47.9092879672$$
$$x_{40} = 69.9004365424$$
$$x_{41} = 7.06858347058$$
$$x_{42} = -101.316363078$$
$$x_{43} = 98.1747704247$$
$$x_{44} = 41.6261026601$$
$$x_{45} = 63.6172512352$$
$$x_{46} = -19.6349540849$$
$$x_{47} = 22.7765467385$$
$$x_{48} = -32.2013246993$$
$$x_{49} = 38.4845100065$$
$$x_{50} = -79.3252145031$$
$$x_{51} = -3.92699081699$$
$$x_{52} = -44.7676953137$$
$$x_{53} = -60.4756585816$$
$$x_{54} = -22.7765467385$$
$$x_{55} = -66.7588438888$$
$$x_{56} = 13.3517687778$$
$$x_{57} = -25.9181393921$$
$$x_{58} = -35.3429173529$$
$$x_{59} = 44.7676953137$$
$$x_{60} = -41.6261026601$$
$$x_{61} = 91.8915851175$$
$$x_{62} = -51.0508806208$$
$$x_{63} = 54.1924732744$$
$$x_{64} = -7.06858347058$$
$$x_{65} = -91.8915851175$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в tan(|x|) – 1.
$$-1 + tan{left (left|{0}right| right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = lim_{x to infty}left(tan{left (left|{x}right| right )} – 1right)$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции tan(|x|) – 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x lim_{x to infty}left(frac{1}{x} left(tan{left (left|{x}right| right )} – 1right)right)$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$tan{left (left|{x}right| right )} – 1 = tan{left (left|{x}right| right )} – 1$$
– Да
$$tan{left (left|{x}right| right )} – 1 = – tan{left (left|{x}right| right )} + 1$$
– Нет
значит, функция
является
чётной