Дано

$$f{left (x right )} = 12 x + x^{3} – 6 x^{2} + 19$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$12 x + x^{3} – 6 x^{2} + 19 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 – 6*x^2 + 12*x + 19.
$$0^{3} – 0 + 0 cdot 12 + 19$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 19$$
Точка:

(0, 19)

Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, 27)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2]

Горизонтальные асимптоты
Читайте также  y = 5*cos(x)-6*x+4
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(12 x + x^{3} – 6 x^{2} + 19right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 – 6*x^2 + 12*x + 19, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(12 x + x^{3} – 6 x^{2} + 19right)right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$12 x + x^{3} – 6 x^{2} + 19 = – x^{3} – 6 x^{2} – 12 x + 19$$
– Нет
$$12 x + x^{3} – 6 x^{2} + 19 = – -1 x^{3} – – 6 x^{2} – – 12 x – 19$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
   
4.74
Mirasue
Работаю в сфере контрольных работ больше 6-ти лет. Есть своя команда по выполнению контрольных работ