Парная регрессия Требуется 1 Графически определите наличие выбросов в совокупности

X Y YX X2 Y2 уx
у-уx
у-уx2
(y-y)2
А,
1 3,024 3,003 9,079 9,143 9,017 2,981 0,022 0,0005 0,009 0,735
2 3,092 3,042 9,406 9,562 9,254 3,061 -0,019 0,0004 0,003 0,627
3 3,106 3,098 9,622 9,645 9,599 3,077 0,021 0,0005 0,000 0,692
4 3,128 3,142 9,828 9,783 9,873 3,103 0,039 0,0015 0,002 1,252
5 2,947 2,859 8,425 8,687 8,171 2,891 -0,033 0,0011 0,058 1,149
6 3,149 3,078 9,692 9,915 9,475 3,127 -0,049 0,0024 0,000 1,600
7 3,159 3,203 10,118 9,978 10,259 3,139 0,064 0,0041 0,011 1,995
8 3,037 3,042 9,240 9,226 9,255 2,997 0,045 0,0021 0,003 1,490
9 3,123 3,108 9,707 9,753 9,660 3,097 0,011 0,0001 0,000 0,349
10 3,184 3,200 10,190 10,137 10,243 3,168 0,032 0,0010 0,010 0,999
11 3,223 3,223 10,387 10,385 10,389 3,214 0,009 0,0001 0,015 0,291
12 3,107 3,124 9,706 9,655 9,758 3,079 0,045 0,0020 0,001 1,447
13 3,147 3,160 9,944 9,905 9,983 3,126 0,034 0,0012 0,004 1,077
14 3,205 3,240 10,385 10,272 10,499 3,193 0,047 0,0022 0,020 1,450
15 3,263 3,270 10,669 10,645 10,693 3,261 0,009 0,0001 0,029 0,279
16 3,138 3,105 9,744 9,849 9,640 3,115 -0,010 0,0001 0,000 0,331
17 3,181 3,176 10,104 10,120 10,089 3,165 0,011 0,0001 0,006 0,349
18 3,084 2,969 9,158 9,514 8,816 3,052 -0,083 0,0068 0,017 2,786
19 3,187 3,102 9,885 10,156 9,621 3,172 -0,070 0,0049 0,000 2,263
20 3,233 3,228 10,436 10,450 10,422 3,226 0,003 0,0000 0,017 0,082
21 3,074 2,987 9,181 9,450 8,919 3,040 -0,053 0,0028 0,013 1,784
22 2,982 2,960 8,826 8,890 8,763 2,931 0,029 0,0008 0,019 0,973
23 3,194 3,160 10,092 10,201 9,984 3,180 -0,021 0,0004 0,004 0,652
24 3,147 3,102 9,760 9,901 9,621 3,125 -0,023 0,0005 0,000 0,743
25 3,113 3,088 9,615 9,694 9,538 3,086 0,002 0,0000 0,000 0,076
26 3,002 2,912 8,744 9,014 8,481 2,956 -0,044 0,0019 0,035 1,496
27 3,130 3,095 9,686 9,794 9,579 3,105 -0,010 0,0001 0,000 0,317
28 3,192 3,133 10,001 10,190 9,816 3,178 -0,045 0,0020 0,001 1,441
29 3,173 3,111 9,871 10,066 9,680 3,155 -0,044 0,0020 0,000 1,421
30 3,041 3,064 9,318 9,248 9,389 3,001 0,063 0,0040 0,001 2,057
Итого 93,764 92,985 290,820 293,226 288,485 93,001 -0,016 0,046 0,279 32,205
Среднее значение 3,125 3,099 9,694 9,774 9,616 – – 0,002
1,073
о 0,075 0,096 – – – – – –
–
о2 0,006 0,009 – – – – – –
–

Параметры регрессии
b=YX-Y*XσX2=9.694-3.125*3.0990,006=-0,563

С=Y-b*X=3.099+0,563*3.125=1.172
Полученное уравнение регрессии
y = -0,563+1,172х
Выполняем потенцирование
yx=10-0,563*x1,172=0,274*x1,172
Теснота связи линейной регрессии оценивалась по индексу корреляции:
ρxy=1-(y-yx)2(y-y)2=1-0.0460.279=0.914
Поскольку rxy > 0,9, то между признаками существует весьма высокая прямая связь (rxy > 0).
Коэффициент детерминации
r2xy = 0.9142=0.835
Это означает, что 83.5% вариации выпуска продукции y объясняется вариацией фактора x – среднегодовой стоимостью ОПФ, а остальные 16.5 % – вариацией других, неучтенных в данном исследовании факторов.
Скорректированный коэффициент детерминации
R2=1-1-R2n-1n-m-1=1-1-0,835*30-130-2-1=0,83
Оценка статистической значимости уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера.
Фактическое значение F-критерия
Fфакт=rxy21-rxy2*(n-2)=0,8351-0,835*28=142.3
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1 = 1 и k2 = 30 – 2 = 28 составляет Fтабл = 4,2
Fфакт = 142.3 > Fтабл = 4,2 – т.е. уравнение регрессии является статистически значимым.
Оценка статистической значимости параметров регрессии и корреляции с помощью t-статистики Стьюдента и расчет доверительного интервала для каждого параметра.
Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы f = n – 2 = 28 и уровня значимости a = 0,05 составляет tтабл = 2,05.
Остаточная дисперсия на одну степень свободы
Sост2=y-yx2n-2=0.04628=0,0016
Стандартные ошибки параметров ma, mb, mrxy
ma =Sост2*x2n2*σx2=0,0016*9,774302*0,006=0,307

mb=Sост2n*σx2=0,001630*0,006=0,098
mrxy=1-rxy2n-2=1-0,83528=0,077
Тогда
ta=ama=1,1720,307=1,83; tb=bmb=0,5630,098=11,93;
trxy=rxymrxy=0,9170,077=11,93
Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение
tb=11,93>tтабл=2,05; trxy=11,93>tтабл=2,05
поэтому параметры b и rxy не случайно отличаются от нуля и статистически значимы.
Фактические значения t-статистики не превосходят табличное значение
ta=1,83<tтабл=2,05
поэтому параметр a случайно отличается от нуля и статистически не значим.
Предельные ошибки для параметров регрессии a и b
∆a=tтабл*ma=2,05*0,307=0,63

∆b=tтабл*mb=2,05*0,098=0,2

Доверительные интервалы
γa=a±∆a=1,172±0,63 или 0,542≤a≤1,802

γb=b±∆b=0,563±0,2 или 0,763≤b≤0,363
C вероятностью p = 0,95 параметры a и b внутри доверительных интервалов не принимает нулевые значения. Следовательно, эти параметры статистически значимы.
p-значения определим с помощью функции СТЬЮДРАСП в excel
pa=0.077≠0 pb=0
Параметр b статистически значим, а параметр a – не значим при уровне значимости a = 0,05.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации
A=1ny-yxy*100%=1,073 %
Качество модели можно оценить как хорошее, т.к. A< 10 %
3. Гиперболическая модель
Для построения степенной модели у=a+bx необходимо произвести линеаризацию переменных:
X=1x
Таблица 2. Расчетная таблица

X y yX
X2 y2 уx
у-уx
у-уx2
А, (y-y)2
1 0,00095 1006,5 0,953 0,00000090 1013042,250 960,733 45,767 2094,6107 4,547 79045,323
2 0,00081 1101,5 0,891 0,00000065 1213302,250 1203,375 -101,875 10378,5146 9,249 34651,823
3 0,00078 1254,0 0,983 0,00000061 1572516,000 1246,780 7,220 52,1329 0,576 1132,323
4 0,00075 1387,0 1,034 0,00000056 1923769,000 1314,972 72,028 5188,0351 5,193 9870,422
5 0,00113 722,0 0,815 0,00000127 521284,000 641,801 80,199 6431,8470 11,108 319959,923
6 0,00071 1197,0 0,850 0,00000050 1432809,000 1376,725 -179,725 32301,1142 15,015 8217,423
7 0,00069 1596,0 1,107 0,00000048 2547216,000 1405,254 190,746 36383,9318 11,951 95079,722
8 0,00092 1102,0 1,011 0,00000084 1214404,000 1012,581 89,419 7995,6755 8,114 34465,923
9 0,00075 1282,5 0,966 0,00000057 1644806,250 1300,685 -18,185 330,7097 1,418 26,523
10 0,00065 1586,5 1,039 0,00000043 2516982,250 1473,435 113,065 12783,7843 7,127 89311,323
11 0,00060 1672,0 1,001 0,00000036 2795584,000 1571,550 100,450 10090,2531 6,008 147724,923
12 0,00078 1330,0 1,039 0,00000061 1768900,000 1251,618 78,382 6143,7820 5,893 1793,522
13 0,00071 1444,0 1,029 0,00000051 2085136,000 1372,285 71,715 5142,9737 4,966 24445,323
14 0,00062 1738,5 1,085 0,00000039 3022382,250 1527,933 210,567 44338,2529 12,112 203265,723
15 0,00055 1862,0 1,017 0,00000030 3467044,000 1664,285 197,715 39091,2588 10,618 329877,923
16 0,00073 1273,0 0,926 0,00000053 1620529,000 1346,363 -73,363 5382,1298 5,763 214,623
17 0,00066 1501,0 0,989 0,00000043 2253001,000 1466,238 34,762 1208,3679 2,316 45518,223
18 0,00082 931,5 0,767 0,00000068 867692,250 1177,661 -246,161 60595,0008 26,426 126842,823
19 0,00065 1264,0 0,822 0,00000042 1597696,000 1481,285 -217,285 47212,6935 17,190 5…