Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение -(x E A) –(x є (1,3, 7}) v (-(x є {1,2,4, 5, 6}) л (x є {1, 3, 7})) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества А.

Исходное выражение можно переписать в читаемой форме, заменив логические связки на их эквиваленты:

($neg(x in A) to neg(x in {1,3,7})$) $lor$ (($neg(x in {1,2,4,5,6})$) $land$ ($x in {1,3,7}$)) = 1.

Так как импликация $p to q$ эквивалентна $neg p lor q$, а конъюнкция $p land q$ эквивалентна $neg(neg p lor neg q)$, выражение можно упростить:

$(x in A lor neg(x in {1,3,7})) lor ((x in {1,2,4,5,6}) land (x in {1,3,7})) = 1$.

Обратим внимание на два члена выражения:
1) $x in A lor neg(x in {1,3,7})$ – это тождественно истинное выражение, так как $x$ может быть любым натуральным числом, а значит, обязательно выполнится хотя бы одно из двух условий: $x in A$ или $neg(x in {1,3,7})$.
2) $(x in {1,2,4,5,6}) land (x in {1,3,7})$ – это выражение истинно только в том случае, когда $x$ одновременно принадлежит множествам ${1,2,4,5,6}$ и ${1,3,7}$. Это возможно, только если $x = 1$.

Таким образом, наименьшее возможное количество элементов множества $А$ равно 1.