Пусть M – точка касания касательной с окружностью, а N – точка пересечения секущей с окружностью (см. рисунок).
Так как касательная и секущая проведены из одной точки, то угол между ними равен углу между касательной и радиусом, проведенным в точку касания. Поэтому треугольник MNO является прямоугольным.
Пусть P – точка, разделяющая секущую на два отрезка, X – точка пересечения касательной и прямой MP, Y – точка пересечения секущей и прямой MN.
Поскольку треугольники MNO и MXP подобны, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:
MN/NO = MX/XP.
Заметим, что MN равно сумме двух отрезков секущей (PM + PN), а NO равно одному из этих отрезков (PN). Таким образом, мы получаем:
(PM + PN)/PN = MX/XP.
По условию, PM равно 6, PN равно 18 и MX равно XP (так как это отрезки касательной). Подставим эти значения в полученную пропорцию:
(6 + 18)/18 = XP/6.
Упростим:
24/18 = XP/6.
Упрощение дает:
4/3 = XP/6.
Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дроби:
4*6/3 = XP.
Таким образом, XP = 8.
Таким образом, внутренний отрезок секущей равен 8.
Поэтому внутренний отрезок секущей равен 8.