Интерполяция – это метод нахождения значения функции для какого-то промежуточного значения аргумента, основываясь на известных значениях функции в некоторых других точках. В данной задаче требуется найти полином Лагранжа для заданных точек.
Шаги решения:
1. Записываем формулу полинома Лагранжа. Полином Лагранжа степени n для заданных точек имеет вид:
L(x) = y1 * L1(x) + y2 * L2(x) + … + yn * Ln(x),
где L1(x), L2(x), …, Ln(x) – базисные полиномы Лагранжа, а yi – значение функции в i-й точке, которое нам известно.
2. Вычисляем базисные полиномы Лагранжа. Базисный полином Ln(x) для точки xi вычисляется следующим образом:
Ln(x) = ((x – x1) * (x – x2) * … * (x – xi-1) * (x – xi+1) * … * (x – xn)) / ((xi – x1) * (xi – x2) * … * (xi – xi-1) * (xi – xi+1) * … * (xi – xn)).
3. Записываем полином Лагранжа для заданных точек. Для нашей задачи получим:
L(x) = -144 * L1(x) + (-75) * L2(x) + 3 * L3(x) + 45 * L4(x),
где:
L1(x) = ((x – x2) * (x – x3) * (x – x4)) / ((x1 – x2) * (x1 – x3) * (x1 – x4)),
L2(x) = ((x – x1) * (x – x3) * (x – x4)) / ((x2 – x1) * (x2 – x3) * (x2 – x4)),
L3(x) = ((x – x1) * (x – x2) * (x – x4)) / ((x3 – x1) * (x3 – x2) * (x3 – x4)),
L4(x) = ((x – x1) * (x – x2) * (x – x3)) / ((x4 – x1) * (x4 – x2) * (x4 – x3)).
4. Упрощаем полученную формулу. Замечаем, что в числителе каждого базисного полинома присутствует (x – xi) для всех xi, кроме одного. Поэтому получаем:
L(x) = ((x – x2) * (x – x3) * (x – x4)) / ((x1 – x2) * (x1 – x3) * (x1 – x4)) * (-144) +
((x – x1) * (x – x3) * (x – x4)) / ((x2 – x1) * (x2 – x3) * (x2 – x4)) * (-75) +
((x – x1) * (x – x2) * (x – x4)) / ((x3 – x1) * (x3 – x2) * (x3 – x4)) * 3 +
((x – x1) * (x – x2) * (x – x3)) / ((x4 – x1) * (x4 – x2) * (x4 – x3)) * 45.
5. Вычисляем значения базисных полиномов для заданных точек и подставляем их в формулу. В итоге получаем полином Лагранжа для заданных точек.
6. Можем использовать полученный полином для интерполяции значений функции в промежуточных точках, подставляя значения аргумента x в полином L(x).
В данной задаче шаги 3-5 непосредственно приводят к получению полинома Лагранжа:
L(x) = (2*(x – (-4))*(x – 2)*(x – 4))/((-5 – (-4))*(-5 – 2)*(-5 – 4))*(-144) +
(-5*(x – (-5))*(x – 2)*(x – 4))/((-4 – (-5))*(-4 – 2)*(-4 – 4))*(-75) +
(-4*(x – (-5))*(x – (-4))*(x – 4))/((2 – (-5))*(2 – (-4))*(2 – 4))*3 +
(45*(x – (-5))*(x – (-4))*(x – 2))/((4 – (-5))*(4 – (-4))*(4 – 2)).
Сокращая конечное выражение, можно получить полином Лагранжа для данных точек.