Интеграл acos(3*x) (dx)

Метод #1

1. пусть
   u = 3 x
   .

   Тогда пусть
   du = 3 dx
   и подставим
   frac{du}{3}
   :

   int {acos}{left (u right )}, du

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int {acos}{left (u right )}, du = frac{1}{3} int {acos}{left (u right )}, du

      1. Используем интегрирование по частям:

         $$
         int {u} {dv}
         = {u}{v} –
         int {v} {du}
         $$

         пусть $$
         u{left (u right )} = {acos}{left (u right )}
         $$ и пусть $$
         {dv}{left (u right )} = 1
         dx.$$

         Затем $$
         {du}{left (u right )} = – frac{1}{sqrt{- u^{2} + 1}}
         dx$$ .

         Чтобы найти $$
         v{left (u right )}
         :

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            int 1, du = u
            $$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $$
         int – frac{u}{sqrt{- u^{2} + 1}}, du = – int frac{u}{sqrt{- u^{2} + 1}}, du

         1. пусть
            u = – u^{2} + 1
            .

            Тогда пусть
            du = – 2 u du
            и подставим
            – frac{du}{2}
            :

            int frac{1}{sqrt{u}}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               int frac{1}{sqrt{u}}, du = – frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{u}}, du

               1. Интеграл
                  u^{n}
                  есть
                  frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                  :

                  int frac{1}{sqrt{u}}, du = 2 sqrt{u}
                  $$

               Таким образом, результат будет: $$
               – sqrt{u}
               $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            – sqrt{- u^{2} + 1}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         sqrt{- u^{2} + 1}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{u}{3} {acos}{left (u right )} – frac{1}{3} sqrt{- u^{2} + 1}
      $$

   Если сейчас заменить $$
   u
   ещё в:

   x {acos}{left (3 x right )} – frac{1}{3} sqrt{- 9 x^{2} + 1}