Интеграл asin(x)/2 (dx)

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   int frac{1}{2} {asin}{left (x right )}, dx = frac{1}{2} int {asin}{left (x right )}, dx

   1. Используем интегрирование по частям:

      $$
      int {u} {dv}
      = {u}{v} –
      int {v} {du}
      $$

      пусть $$
      u{left (x right )} = {asin}{left (x right )}
      $$ и пусть $$
      {dv}{left (x right )} = 1
      dx.$$

      Затем $$
      {du}{left (x right )} = frac{1}{sqrt{- x^{2} + 1}}
      dx$$ .

      Чтобы найти $$
      v{left (x right )}
      :

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         int 1, dx = x

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. пусть
      u = – x^{2} + 1
      .

      Тогда пусть
      du = – 2 x dx
      и подставим
      – frac{du}{2}
      :

      int frac{1}{sqrt{u}}, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int frac{1}{sqrt{u}}, du = – frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{u}}, du

         1. Интеграл
            u^{n}
            есть
            frac{u^{n + 1}}{n + 1}
            :

            int frac{1}{sqrt{u}}, du = 2 sqrt{u}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         – sqrt{u}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      – sqrt{- x^{2} + 1}
      $$

   Таким образом, результат будет: $$
   frac{x}{2} {asin}{left (x right )} + frac{1}{2} sqrt{- x^{2} + 1}
   $$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   frac{x}{2} {asin}{left (x right )} + frac{1}{2} sqrt{- x^{2} + 1}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{x}{2} {asin}{left (x right )} + frac{1}{2} sqrt{- x^{2} + 1}+ mathrm{constant}

1
/
|
| asin(x) 1 pi
| ——- dx = – – + —
| 2 2 4
|
/
0

0.285398163397448

/ ________
| / 2
| asin(x) / 1 – x x*asin(x)
| ——- dx = C + ———– + ———
| 2 2 2
|
/