Интеграл atan(sqrt(3*x-1)) (dx)

Метод #1

1. пусть
   u = sqrt{3 x – 1}
   .

   Тогда пусть
   du = frac{3 dx}{2 sqrt{3 x – 1}}
   и подставим
   frac{2 du}{3}
   :

   int u {atan}{left (u right )}, du

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int u {atan}{left (u right )}, du = frac{2}{3} int u {atan}{left (u right )}, du

      1. Используем интегрирование по частям:

         $$
         int {u} {dv}
         = {u}{v} –
         int {v} {du}
         $$

         пусть $$
         u{left (u right )} = {atan}{left (u right )}
         $$ и пусть $$
         {dv}{left (u right )} = u
         dx.$$

         Затем $$
         {du}{left (u right )} = frac{1}{u^{2} + 1}
         dx$$ .

         Чтобы найти $$
         v{left (u right )}
         :

         1. Интеграл
            u^{n}
            есть
            frac{u^{n + 1}}{n + 1}
            :

            int u, du = frac{u^{2}}{2}
            $$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $$
         int frac{u^{2}}{2 u^{2} + 2}, du = frac{1}{2} int frac{u^{2}}{u^{2} + 1}, du

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            frac{u^{2}}{u^{2} + 1} = 1 – frac{1}{u^{2} + 1}

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               int 1, du = u

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               int – frac{1}{u^{2} + 1}, du = – int frac{1}{u^{2} + 1}, du

               1. Интеграл
                  frac{1}{u^{2} + 1}
                  есть
                  {atan}{left (u right )}
                  .$$

               Таким образом, результат будет: $$
               – {atan}{left (u right )}

            Результат есть:
            u – {atan}{left (u right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         frac{u}{2} – frac{1}{2} {atan}{left (u right )}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{u^{2}}{3} {atan}{left (u right )} – frac{u}{3} + frac{1}{3} {atan}{left (u right )}
      $$

   Если сейчас заменить $$
   u
   ещё в:

   – frac{1}{3} sqrt{3 x – 1} + frac{1}{3} left(3 x – 1right) {atan}{left (sqrt{3 x – 1} right )} + frac{1}{3} {atan}{left (sqrt{3 x – 1} right )}