Интеграл cos(x)^3*sin(x) (dx)

Метод #2

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   sin{left (x right )} cos^{3}{left (x right )} = left(- sin^{2}{left (x right )} + 1right) sin{left (x right )} cos{left (x right )}

2. пусть
   u = sin^{2}{left (x right )}
   .

   Тогда пусть
   du = 2 sin{left (x right )} cos{left (x right )} dx
   и подставим
   du
   :

   int – frac{u}{2} + frac{1}{2}, du

   1. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int – frac{u}{2}, du = – frac{1}{2} int u, du

         1. Интеграл
            u^{n}
            есть
            frac{u^{n + 1}}{n + 1}
            :

            int u, du = frac{u^{2}}{2}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         – frac{u^{2}}{4}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         int frac{1}{2}, du = frac{u}{2}

      Результат есть:
      – frac{u^{2}}{4} + frac{u}{2}
      $$

   Если сейчас заменить $$
   u
   ещё в:

   – frac{1}{4} sin^{4}{left (x right )} + frac{1}{2} sin^{2}{left (x right )}