Интеграл dx/(x^4-1) (dx)

$$int_{0}^{1} frac{1}{x^{4} – 1}, dx$$

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   frac{1}{x^{4} – 1} = – frac{1}{2 x^{2} + 2} – frac{1}{4 x + 4} + frac{1}{4 x – 4}

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int – frac{1}{2 x^{2} + 2}, dx = – frac{1}{2} int frac{1}{x^{2} + 1}, dx

      1. Интеграл
         frac{1}{x^{2} + 1}
         есть
         {atan}{left (x right )}
         .$$

      Таким образом, результат будет: $$
      – frac{1}{2} {atan}{left (x right )}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int – frac{1}{4 x + 4}, dx = – frac{1}{4} int frac{1}{x + 1}, dx

      1. пусть
         u = x + 1
         .

         Тогда пусть
         du = dx
         и подставим
         du
         :

         int frac{1}{u}, du

         1. Интеграл
            frac{1}{u}
            есть
            log{left (u right )}
            .$$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         log{left (x + 1 right )}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      – frac{1}{4} log{left (x + 1 right )}

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{1}{4 x – 4}, dx = frac{1}{4} int frac{1}{x – 1}, dx

      1. пусть
         u = x – 1
         .

         Тогда пусть
         du = dx
         и подставим
         du
         :

         int frac{1}{u}, du

         1. Интеграл
            frac{1}{u}
            есть
            log{left (u right )}
            .$$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         log{left (x – 1 right )}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{1}{4} log{left (x – 1 right )}

   Результат есть:
   frac{1}{4} log{left (x – 1 right )} – frac{1}{4} log{left (x + 1 right )} – frac{1}{2} {atan}{left (x right )}
   $$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   frac{1}{4} log{left (x – 1 right )} – frac{1}{4} log{left (x + 1 right )} – frac{1}{2} {atan}{left (x right )}+ mathrm{constant}

---

Ответ:

frac{1}{4} log{left (x – 1 right )} – frac{1}{4} log{left (x + 1 right )} – frac{1}{2} {atan}{left (x right )}+ mathrm{constant}

1
/
|
| 1 pi*I
| —— dx = -oo – —-
| 4 4
| x – 1
|
/
0

$${it %a}$$

-11.5887250733929

/
|
| 1 atan(x) log(1 + x) log(-1 + x)
| —— dx = C – ——- – ———- + ———–
| 4 2 4 4
| x – 1
|
/

$$-{{log left(x+1right)}over{4}}-{{arctan x}over{2}}+{{log
left(x-1right)}over{4}}$$