Интеграл e^x*(cos(x)) (dx)

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   e^{x} cos{left (x right )} = e^{x} cos{left (x right )}

2. Используем интегрирование по частям:

   $$
   int {u} {dv}
   = {u}{v} –
   int {v} {du}
   $$

   пусть $$
   u{left (x right )} = cos{left (x right )}
   $$ и пусть $$
   {dv}{left (x right )} = e^{x}
   dx.$$

   Затем $$
   {du}{left (x right )} = – sin{left (x right )}
   dx$$ .

   Чтобы найти $$
   v{left (x right )}
   :

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      int e^{x}, dx = e^{x}
      $$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $$
   int – e^{x} sin{left (x right )}, dx = – int e^{x} sin{left (x right )}, dx

   1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

      1. Для подинтегрального выражения
         e^{x} sin{left (x right )}
         :$$

         пусть $$
         u{left (x right )} = sin{left (x right )}
         $$ и пусть $$
         {dv}{left (x right )} = e^{x}
         .$$

         Затем $$
         int e^{x} sin{left (x right )}, dx = e^{x} sin{left (x right )} – int e^{x} cos{left (x right )}, dx
         .

      2. Для подинтегрального выражения
         e^{x} cos{left (x right )}
         :$$

         пусть $$
         u{left (x right )} = cos{left (x right )}
         $$ и пусть $$
         {dv}{left (x right )} = e^{x}
         .$$

         Затем $$
         int e^{x} sin{left (x right )}, dx = e^{x} sin{left (x right )} – e^{x} cos{left (x right )} + int – e^{x} sin{left (x right )}, dx
         .

      3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

         2 int e^{x} sin{left (x right )}, dx = e^{x} sin{left (x right )} – e^{x} cos{left (x right )}

         Поэтому,

         int e^{x} sin{left (x right )}, dx = frac{e^{x}}{2} sin{left (x right )} – frac{e^{x}}{2} cos{left (x right )}

   Таким образом, результат будет:
   – frac{e^{x}}{2} sin{left (x right )} + frac{e^{x}}{2} cos{left (x right )}

4. Теперь упростить:

   frac{sqrt{2} e^{x}}{2} sin{left (x + frac{pi}{4} right )}
   $$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   frac{sqrt{2} e^{x}}{2} sin{left (x + frac{pi}{4} right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{sqrt{2} e^{x}}{2} sin{left (x + frac{pi}{4} right )}+ mathrm{constant}

1
/
|
| x 1 E*cos(1) E*sin(1)
| E *cos(x) dx = – – + ——– + ——–
| 2 2 2
/
0

1.37802461354736

/
| x x
| x cos(x)*e e *sin(x)
| E *cos(x) dx = C + ——— + ———
| 2 2
/