Интеграл sqrt(12-x^2)-2*sqrt(3)+sqrt(12-x^2) (dx)

1. Интегрируем почленно:

   1. TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=12*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=12, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func=’cos’, arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=12*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 2*sqrt(3), x > -2*sqrt(3)), context=sqrt(-x**2 + 12), symbol=x)

   1. Интегрируем почленно:

      1. TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=12*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=12, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func=’cos’, arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=12*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=And(x < 2*sqrt(3), x > -2*sqrt(3)), context=sqrt(-x**2 + 12), symbol=x)

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         int – 2 sqrt{3}, dx = – 2 sqrt{3} x

      Результат есть:
      – 2 sqrt{3} x + begin{cases} frac{x}{2} sqrt{- x^{2} + 12} + 6 {asin}{left (frac{sqrt{3} x}{6} right )} & text{for}: x > – 2 sqrt{3} wedge x < 2 sqrt{3} end{cases}

   Результат есть:
   – 2 sqrt{3} x + 2 begin{cases} frac{x}{2} sqrt{- x^{2} + 12} + 6 {asin}{left (frac{sqrt{3} x}{6} right )} & text{for}: x > – 2 sqrt{3} wedge x < 2 sqrt{3} end{cases}

2. Теперь упростить:

   begin{cases} x sqrt{- x^{2} + 12} – 2 sqrt{3} x + 12 {asin}{left (frac{sqrt{3} x}{6} right )} & text{for}: x > – 2 sqrt{3} wedge x < 2 sqrt{3} end{cases} $$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   begin{cases} x sqrt{- x^{2} + 12} – 2 sqrt{3} x + 12 {asin}{left (frac{sqrt{3} x}{6} right )} & text{for}: x > – 2 sqrt{3} wedge x < 2 sqrt{3} end{cases}+ mathrm{constant}

Ответ:

begin{cases} x sqrt{- x^{2} + 12} – 2 sqrt{3} x + 12 {asin}{left (frac{sqrt{3} x}{6} right )} & text{for}: x > – 2 sqrt{3} wedge x < 2 sqrt{3} end{cases}+ mathrm{constant}

1
/
|
| / _________ _________ / ___
| | / 2 ___ / 2 | ____ ___ |/ 3 |
| / 12 – x – 2*/ 3 + / 12 – x / dx = / 11 – 2*/ 3 + 12*asin|—–|
| 6 /
/
0

3.36663643596055

/
|
| / _________ _________ // _________
| | / 2 ___ / 2 | || / ___ / 2 | ___
| / 12 – x – 2*/ 3 + / 12 – x / dx = C + 2*|< |x*/ 3 | x*/ 12 - x / ___ ___| - 2*x*/ 3 | ||6*asin|-------| + -------------- for Andx > -2*/ 3 , x < 2*/ 3 /| / 6 / 2 /