10*p1+13*p2+13*p3=v 14*p1+11*p2+12*p3=v 8*p1+14*p2+11*p3=v p1+p2+p3=1

14*p1 + 11*p2 + 12*p3 = v

8*p1 + 14*p2 + 11*p3 = v

p1 + p2 + p3 = 1

12

$$p_{31} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$p_{11} = frac{1}{3}$$
=
$$frac{1}{3}$$
=

0.333333333333333

$$p_{21} = frac{2}{3}$$
=
$$frac{2}{3}$$
=

0.666666666666667

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$10 p_{1} + 13 p_{2} + 13 p_{3} – v = 0$$
$$14 p_{1} + 11 p_{2} + 12 p_{3} – v = 0$$
$$8 p_{1} + 14 p_{2} + 11 p_{3} – v = 0$$
$$p_{1} + p_{2} + p_{3} = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}- x_{4} + 13 x_{3} + 10 x_{1} + 13 x_{2} – x_{4} + 12 x_{3} + 14 x_{1} + 11 x_{2} – x_{4} + 11 x_{3} + 8 x_{1} + 14 x_{2} x_{4} + x_{3} + x_{1} + x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}01end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}10 & 13 & 13 & -114 & 11 & 12 & -18 & 14 & 11 & -11 & 1 & 1 & 0end{matrix}right] right )} = 15$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{15} {det}{left (left[begin{matrix}0 & 13 & 13 & -1 & 11 & 12 & -1 & 14 & 11 & -11 & 1 & 1 & 0end{matrix}right] right )} = frac{1}{3}$$
$$x_{2} = frac{1}{15} {det}{left (left[begin{matrix}10 & 0 & 13 & -114 & 0 & 12 & -18 & 0 & 11 & -11 & 1 & 1 & 0end{matrix}right] right )} = frac{2}{3}$$
$$x_{3} = frac{1}{15} {det}{left (left[begin{matrix}10 & 13 & 0 & -114 & 11 & 0 & -18 & 14 & 0 & -11 & 1 & 1 & 0end{matrix}right] right )} = 0$$
$$x_{4} = frac{1}{15} {det}{left (left[begin{matrix}10 & 13 & 13 & 014 & 11 & 12 & 08 & 14 & 11 & 01 & 1 & 1 & 1end{matrix}right] right )} = 12$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$10 p_{1} + 13 p_{2} + 13 p_{3} – v = 0$$
$$14 p_{1} + 11 p_{2} + 12 p_{3} – v = 0$$
$$8 p_{1} + 14 p_{2} + 11 p_{3} – v = 0$$
$$p_{1} + p_{2} + p_{3} = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}10 & 13 & 13 & -1 & 014 & 11 & 12 & -1 & 08 & 14 & 11 & -1 & 01 & 1 & 1 & 0 & 1end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}101481end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 & 1end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 3 & -1 & -10end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 3 & 3 & -1 & -10end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 3 & -1 & -1014 & 11 & 12 & -1 & 08 & 14 & 11 & -1 & 01 & 1 & 1 & 0 & 1end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -3 & -2 & -1 & -14end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -3 & -2 & -1 & -14end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 3 & -1 & -10 & -3 & -2 & -1 & -148 & 14 & 11 & -1 & 01 & 1 & 1 & 0 & 1end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 6 & 3 & -1 & -8end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 6 & 3 & -1 & -8end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 3 & -1 & -10 & -3 & -2 & -1 & -14 & 6 & 3 & -1 & -81 & 1 & 1 & 0 & 1end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}3 -361end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 3 & -1 & -10end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & -2 & -24end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & -2 & -24end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 3 & -1 & -10 & 0 & 1 & -2 & -24 & 6 & 3 & -1 & -81 & 1 & 1 & 0 & 1end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -3 & 1 & 12end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -3 & 1 & 12end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 3 & -1 & -10 & 0 & 1 & -2 & -24 & 0 & -3 & 1 & 121 & 1 & 1 & 0 & 1end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & – frac{-1}{3} & 1 – – frac{10}{3}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & frac{1}{3} & frac{13}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 3 & -1 & -10 & 0 & 1 & -2 & -24 & 0 & -3 & 1 & 121 & 0 & 0 & frac{1}{3} & frac{13}{3}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}31 -3end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & -2 & -24end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 0 & 5 & 62end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 3 & 0 & 5 & 62end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 0 & 5 & 62 & 0 & 1 & -2 & -24 & 0 & -3 & 1 & 121 & 0 & 0 & frac{1}{3} & frac{13}{3}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -5 & -60end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -5 & -60end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 0 & 5 & 62 & 0 & 1 & -2 & -24 & 0 & 0 & -5 & -601 & 0 & 0 & frac{1}{3} & frac{13}{3}end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}5 -2 -5\frac{1}{3}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -5 & -60end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 0 & 0 & 2end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 3 & 0 & 0 & 2end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & -2 & -24 & 0 & 0 & -5 & -601 & 0 & 0 & frac{1}{3} & frac{13}{3}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & -601 & 0 & 0 & frac{1}{3} & frac{13}{3}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & – frac{1}{3} + frac{1}{3} & frac{1}{3}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 3 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & -601 & 0 & 0 & 0 & frac{1}{3}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{2} – 2 = 0$$
$$x_{3} = 0$$
$$- 5 x_{4} + 60 = 0$$
$$x_{1} – frac{1}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = frac{2}{3}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 12$$
$$x_{1} = frac{1}{3}$$

p11 = 0.3333333333333333
p21 = 0.6666666666666667
p31 = -4.39439700418796e-25
v1 = 12.0000000000000

p12 = 0.3333333333333333
p22 = 0.6666666666666667
p32 = 1.809457589959748e-25
v2 = 12.0000000000000

p13 = 0.3333333333333333
p23 = 0.6666666666666667
p33 = -5.169878828456423e-26
v3 = 12.0000000000000

p14 = 0.3333333333333333
p24 = 0.6666666666666667
p34 = 1.033975765691285e-25
v4 = 12.0000000000000

p15 = 0.3333333333333333
p25 = 0.6666666666666667
p35 = 9.305781891221561e-25
v5 = 12.0000000000000

p16 = 0.3333333333333333
p26 = 0.6666666666666667
p36 = 0.0
v6 = 12.0000000000000

p17 = 0.3333333333333333
p27 = 0.6666666666666667
p37 = -8.271806125530277e-25
v7 = 12.0000000000000

p18 = 0.3333333333333333
p28 = 0.6666666666666667
p38 = -2.584939414228211e-25
v8 = 12.0000000000000

p19 = 0.3333333333333333
p29 = 0.6666666666666667
p39 = 6.203854594147708e-25
v9 = 12.0000000000000

p110 = 0.3333333333333333
p210 = 0.6666666666666667
p310 = -7.237830359838992e-25
v10 = 12.0000000000000

p111 = 0.3333333333333333
p211 = 0.6666666666666667
p311 = 5.169878828456423e-26
v11 = 12.0000000000000

p112 = 0.3333333333333333
p212 = 0.6666666666666667
p312 = -1.033975765691285e-25
v12 = 12.0000000000000

p113 = 0.3333333333333333
p213 = 0.6666666666666667
p313 = -1.809457589959748e-25
v13 = 12.0000000000000

p114 = 0.3333333333333333
p214 = 0.6666666666666667
p314 = -1.033975765691285e-24
v14 = 12.0000000000000

p115 = 0.3333333333333333
p215 = 0.6666666666666667
p315 = -3.101927297073854e-25
v15 = 12.0000000000000

p116 = 0.3333333333333333
p216 = 0.6666666666666667
p316 = -6.72084247699335e-25
v16 = 12.0000000000000

p117 = 0.3333333333333333
p217 = 0.6666666666666667
p317 = -9.305781891221561e-25
v17 = 12.0000000000000

p118 = 0.3333333333333333
p218 = 0.6666666666666667
p318 = 4.135903062765138e-25
v18 = 12.0000000000000

p119 = 0.3333333333333333
p219 = 0.6666666666666667
p319 = 1.033975765691285e-24
v19 = 12.0000000000000

p120 = 0.3333333333333333
p220 = 0.6666666666666667
p320 = 2.067951531382569e-25
v20 = 12.0000000000000

p121 = 0.3333333333333333
p221 = 0.6666666666666667
p321 = -4.135903062765138e-25
v21 = 12.0000000000000

p122 = 0.3333333333333333
p222 = 0.6666666666666667
p322 = 5.169878828456423e-25
v22 = 12.0000000000000

p123 = 0.3333333333333333
p223 = 0.6666666666666667
p323 = -6.203854594147708e-25
v23 = 12.0000000000000

p124 = 0.3333333333333333
p224 = 0.6666666666666667
p324 = -2.067951531382569e-25
v24 = 12.0000000000000

p125 = 0.3333333333333333
p225 = 0.6666666666666667
p325 = -1.189072130544977e-24
v25 = 12.0000000000000

p126 = 0.3333333333333333
p226 = 0.6666666666666667
p326 = 3.101927297073854e-25
v26 = 12.0000000000000

p127 = 0.3333333333333333
p227 = 0.6666666666666667
p327 = -5.169878828456423e-25
v27 = 12.0000000000000

p128 = 0.3333333333333333
p228 = 0.6666666666666667
p328 = 2.481541837659083e-24
v28 = 12.0000000000000

p129 = 0.3333333333333333
p229 = 0.6666666666666667
p329 = -5.686866711302065e-25
v29 = 12.0000000000000

p130 = 0.3333333333333333
p230 = 0.6666666666666667
p330 = -2.481541837659083e-24
v30 = 12.0000000000000

p131 = 0.3333333333333333
p231 = 0.6666666666666667
p331 = 8.271806125530277e-25
v31 = 12.0000000000000