a+b+c+d+e=1 16*a+8*b+4*c+2*d+e=9 81*a+27*b+9*c+3*d+e=36 256*a+64*b+16*c+4*d+e=100 625*a+125*b+25*c+5*d+e=225

16*a + 8*b + 4*c + 2*d + E = 9

81*a + 27*b + 9*c + 3*d + E = 36

256*a + 64*b + 16*c + 4*d + E = 100

625*a + 125*b + 25*c + 5*d + E = 225

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$a + b + c + d – 1 + e = 0$$
$$16 a + 8 b + 4 c + 2 d – 9 + e = 0$$
$$81 a + 27 b + 9 c + 3 d – 36 + e = 0$$
$$256 a + 64 b + 16 c + 4 d – 100 + e = 0$$
$$625 a + 125 b + 25 c + 5 d – 225 + e = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & – e + 116 & 8 & 4 & 2 & – e + 981 & 27 & 9 & 3 & – e + 36256 & 64 & 16 & 4 & – e + 100625 & 125 & 25 & 5 & – e + 225end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}11681256625end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & – e + 1end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -8 & -12 & -14 & – e + 9 – – 16 e + 16end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 eend{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & – e + 1 & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 e81 & 27 & 9 & 3 & – e + 36256 & 64 & 16 & 4 & – e + 100625 & 125 & 25 & 5 & – e + 225end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -54 & -72 & -78 & – e + 36 – – 81 e + 81end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -54 & -72 & -78 & -45 + 80 eend{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & – e + 1 & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 e & -54 & -72 & -78 & -45 + 80 e256 & 64 & 16 & 4 & – e + 100625 & 125 & 25 & 5 & – e + 225end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -192 & -240 & -252 & – e + 100 – – 256 e + 256end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -192 & -240 & -252 & -156 + 255 eend{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & – e + 1 & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 e & -54 & -72 & -78 & -45 + 80 e & -192 & -240 & -252 & -156 + 255 e625 & 125 & 25 & 5 & – e + 225end{matrix}right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -500 & -600 & -620 & – e + 225 – – 625 e + 625end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -500 & -600 & -620 & -400 + 624 eend{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & – e + 1 & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 e & -54 & -72 & -78 & -45 + 80 e & -192 & -240 & -252 & -156 + 255 e & -500 & -600 & -620 & -400 + 624 eend{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -8 -54 -192 -500end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 eend{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{3}{2} + 1 & – frac{7}{4} + 1 & – e + 1 – – frac{15 e}{8} + frac{7}{8}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{1}{2} & – frac{3}{4} & frac{1}{8} + frac{7 e}{8}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{1}{2} & – frac{3}{4} & frac{1}{8} + frac{7 e}{8} & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 e & -54 & -72 & -78 & -45 + 80 e & -192 & -240 & -252 & -156 + 255 e & -500 & -600 & -620 & -400 + 624 eend{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 9 & -78 – – frac{189}{2} & – – frac{189}{4} + frac{405 e}{4} + -45 + 80 eend{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{1}{2} & – frac{3}{4} & frac{1}{8} + frac{7 e}{8} & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 e & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} & -192 & -240 & -252 & -156 + 255 e & -500 & -600 & -620 & -400 + 624 eend{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 48 & 84 & – -168 + 360 e + -156 + 255 eend{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 48 & 84 & – 105 e + 12end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{1}{2} & – frac{3}{4} & frac{1}{8} + frac{7 e}{8} & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 e & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} & 0 & 48 & 84 & – 105 e + 12 & -500 & -600 & -620 & -400 + 624 eend{matrix}right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 150 & 255 & – – frac{875}{2} + frac{1875 e}{2} + -400 + 624 eend{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 150 & 255 & – frac{627 e}{2} + frac{75}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{1}{2} & – frac{3}{4} & frac{1}{8} + frac{7 e}{8} & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 e & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} & 0 & 48 & 84 & – 105 e + 12 & 0 & 150 & 255 & – frac{627 e}{2} + frac{75}{2}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{1}{2} -12948150end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{1}{2} – – frac{1}{2} & – frac{3}{4} – – frac{11}{12} & – – frac{1}{8} + frac{85 e}{72} + frac{1}{8} + frac{7 e}{8}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & frac{1}{6} & – frac{11 e}{36} + frac{1}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & frac{1}{6} & – frac{11 e}{36} + frac{1}{4} & -8 & -12 & -14 & -7 + 15 e & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} & 0 & 48 & 84 & – 105 e + 12 & 0 & 150 & 255 & – frac{627 e}{2} + frac{75}{2}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -8 & 0 & 8 & – -3 + frac{85 e}{3} + -7 + 15 eend{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -8 & 0 & 8 & – frac{40 e}{3} – 4end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & frac{1}{6} & – frac{11 e}{36} + frac{1}{4} & -8 & 0 & 8 & – frac{40 e}{3} – 4 & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} & 0 & 48 & 84 & – 105 e + 12 & 0 & 150 & 255 & – frac{627 e}{2} + frac{75}{2}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -4 & – 105 e + 12 – – frac{340 e}{3} + 12end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -4 & frac{25 e}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & frac{1}{6} & – frac{11 e}{36} + frac{1}{4} & -8 & 0 & 8 & – frac{40 e}{3} – 4 & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} & 0 & 0 & -4 & frac{25 e}{3} & 0 & 150 & 255 & – frac{627 e}{2} + frac{75}{2}end{matrix}right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -20 & – frac{627 e}{2} + frac{75}{2} – – frac{2125 e}{6} + frac{75}{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -20 & frac{122 e}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & frac{1}{6} & – frac{11 e}{36} + frac{1}{4} & -8 & 0 & 8 & – frac{40 e}{3} – 4 & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} & 0 & 0 & -4 & frac{25 e}{3} & 0 & 0 & -20 & fra
c{122 e}{3}end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{1}{6}8\frac{33}{2} -4 -20end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -4 & frac{25 e}{3}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & – frac{1}{6} + frac{1}{6} & – frac{11 e}{36} + frac{1}{4} – – frac{25 e}{72}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{e}{24} + frac{1}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{e}{24} + frac{1}{4} & -8 & 0 & 8 & – frac{40 e}{3} – 4 & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} & 0 & 0 & -4 & frac{25 e}{3} & 0 & 0 & -20 & frac{122 e}{3}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -8 & 0 & 0 & – frac{40 e}{3} – 4 – – frac{50 e}{3}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -8 & 0 & 0 & -4 + frac{10 e}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{e}{24} + frac{1}{4} & -8 & 0 & 0 & -4 + frac{10 e}{3} & 0 & 9 & frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} & 0 & 0 & -4 & frac{25 e}{3} & 0 & 0 & -20 & frac{122 e}{3}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 9 & – frac{33}{2} + frac{33}{2} & – frac{85 e}{4} + frac{9}{4} – – frac{275 e}{8}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 9 & 0 & frac{9}{4} + frac{105 e}{8}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{e}{24} + frac{1}{4} & -8 & 0 & 0 & -4 + frac{10 e}{3} & 0 & 9 & 0 & frac{9}{4} + frac{105 e}{8} & 0 & 0 & -4 & frac{25 e}{3} & 0 & 0 & -20 & frac{122 e}{3}end{matrix}right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & – frac{125 e}{3} + frac{122 e}{3}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & – eend{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{e}{24} + frac{1}{4} & -8 & 0 & 0 & -4 + frac{10 e}{3} & 0 & 9 & 0 & frac{9}{4} + frac{105 e}{8} & 0 & 0 & -4 & frac{25 e}{3} & 0 & 0 & 0 & – eend{matrix}right]$$

Составляем элементарные ур-ния из решенной матрицы и видим, что эта система ур-ния не имеет решений
$$x_{1} – frac{1}{4} – frac{e}{24} = 0$$
$$- 8 x_{2} – frac{10 e}{3} + 4 = 0$$
$$9 x_{3} – frac{105 e}{8} – frac{9}{4} = 0$$
$$- 4 x_{4} – frac{25 e}{3} = 0$$
$$0 + E = 0$$
Получаем ответ:
Данная система ур-ний не имеет решений