Дано

$$200 i_{1} + 500 i_{2} – 15 = 0$$

200*i1 + 50*i3 – 15 + 10 = 0

$$200 i_{1} + 50 i_{3} – 15 + 10 = 0$$

i1 = i2 + i3

$$i_{1} = i_{2} + i_{3}$$

v = i2*500

$$v = 500 i_{2}$$
Ответ
$$i_{31} = frac{1}{270}$$
=
$$frac{1}{270}$$
=

0.00370370370370370

$$v_{1} = frac{275}{27}$$
=
$$frac{275}{27}$$
=

10.1851851851852

$$i_{21} = frac{11}{540}$$
=
$$frac{11}{540}$$
=

0.0203703703703704

$$i_{11} = frac{13}{540}$$
=
$$frac{13}{540}$$
=

0.0240740740740741

Метод Крамера
$$200 i_{1} + 500 i_{2} – 15 = 0$$
$$200 i_{1} + 50 i_{3} – 15 + 10 = 0$$
$$i_{1} = i_{2} + i_{3}$$
$$v = 500 i_{2}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$200 i_{1} + 500 i_{2} = 15$$
$$200 i_{1} + 50 i_{3} = 5$$
$$i_{1} – i_{2} – i_{3} = 0$$
$$- 500 i_{2} + v = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 x_{4} + 0 x_{3} + 200 x_{1} + 500 x_{2} x_{4} + 50 x_{3} + 200 x_{1} + 0 x_{2} x_{4} + – x_{3} + x_{1} – x_{2}x_{4} + 0 x_{3} + 0 x_{1} – 500 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}155end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0200 & 0 & 50 & 01 & -1 & -1 & 0 & -500 & 0 & 1end{matrix}right] right )} = 135000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{135000} {det}{left (left[begin{matrix}15 & 500 & 0 & 05 & 0 & 50 & 0 & -1 & -1 & 0 & -500 & 0 & 1end{matrix}right] right )} = frac{13}{540}$$
$$x_{2} = frac{1}{135000} {det}{left (left[begin{matrix}200 & 15 & 0 & 0200 & 5 & 50 & 01 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1end{matrix}right] right )} = frac{11}{540}$$
$$x_{3} = frac{1}{135000} {det}{left (left[begin{matrix}200 & 500 & 15 & 0200 & 0 & 5 & 01 & -1 & 0 & 0 & -500 & 0 & 1end{matrix}right] right )} = frac{1}{270}$$
$$x_{4} = frac{1}{135000} {det}{left (left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 15200 & 0 & 50 & 51 & -1 & -1 & 0 & -500 & 0 & 0end{matrix}right] right )} = frac{275}{27}$$

Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$200 i_{1} + 500 i_{2} – 15 = 0$$
$$200 i_{1} + 50 i_{3} – 15 + 10 = 0$$
$$i_{1} = i_{2} + i_{3}$$
$$v = 500 i_{2}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$200 i_{1} + 500 i_{2} = 15$$
$$200 i_{1} + 50 i_{3} = 5$$
$$i_{1} – i_{2} – i_{3} = 0$$
$$- 500 i_{2} + v = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0 & 15200 & 0 & 50 & 0 & 51 & -1 & -1 & 0 & 0 & -500 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}2002001end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0 & 15end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -500 & 50 & 0 & -10end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -500 & 50 & 0 & -10end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0 & 15 & -500 & 50 & 0 & -101 & -1 & -1 & 0 & 0 & -500 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{5}{2} – 1 & -1 & 0 & – frac{3}{40}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{7}{2} & -1 & 0 & – frac{3}{40}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0 & 15 & -500 & 50 & 0 & -10 & – frac{7}{2} & -1 & 0 & – frac{3}{40} & -500 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}500 -500 – frac{7}{2} -500end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0 & 15end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}200 & 0 & 50 & 0 & 5end{matrix}right] = left[begin{matrix}200 & 0 & 50 & 0 & 5end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0 & 15200 & 0 & 50 & 0 & 5 & – frac{7}{2} & -1 & 0 & – frac{3}{40} & -500 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{-7}{5} & – frac{7}{2} – – frac{7}{2} & -1 & 0 & – frac{3}{40} – – frac{21}{200}end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{7}{5} & 0 & -1 & 0 & frac{3}{100}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0 & 15200 & 0 & 50 & 0 & 5\frac{7}{5} & 0 & -1 & 0 & frac{3}{100} & -500 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}200 & 0 & 0 & 1 & 15end{matrix}right] = left[begin{matrix}200 & 0 & 0 & 1 & 15end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0 & 15200 & 0 & 50 & 0 & 5\frac{7}{5} & 0 & -1 & 0 & frac{3}{100}200 & 0 & 0 & 1 & 15end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}050 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}200 & 0 & 50 & 0 & 5end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}frac{27}{5} & 0 & 0 & 0 & frac{3}{100} – – frac{1}{10}end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{27}{5} & 0 & 0 & 0 & frac{13}{100}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}200 & 500 & 0 & 0 & 15200 & 0 & 50 & 0 & 5\frac{27}{5} & 0 & 0 & 0 & frac{13}{100}200 & 0 & 0 & 1 & 15end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}200200\frac{27}{5}200end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}frac{27}{5} & 0 & 0 & 0 & frac{13}{100}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 500 & 0 & 0 & – frac{130}{27} + 15end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 500 & 0 & 0 & frac{275}{27}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 500 & 0 & 0 & frac{275}{27}200 & 0 & 50 & 0 & 5\frac{27}{5} & 0 & 0 & 0 & frac{13}{100}200 & 0 & 0 & 1 & 15end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 50 & 0 & – frac{130}{27} + 5end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 50 & 0 & frac{5}{27}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 500 & 0 & 0 & frac{275}{27} & 0 & 50 & 0 & frac{5}{27}\frac{27}{5} & 0 & 0 & 0 & frac{13}{100}200 & 0 & 0 & 1 & 15end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & – frac{130}{27} + 15end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & frac{275}{27}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 500 & 0 & 0 & frac{275}{27} & 0 & 50 & 0 & frac{5}{27}\frac{27}{5} & 0 & 0 & 0 & frac{13}{100} & 0 & 0 & 1 & frac{275}{27}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$500 x_{2} – frac{275}{27} = 0$$
$$50 x_{3} – frac{5}{27} = 0$$
$$frac{27 x_{1}}{5} – frac{13}{100} = 0$$
$$x_{4} – frac{275}{27} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = frac{11}{540}$$
$$x_{3} = frac{1}{270}$$
$$x_{1} = frac{13}{540}$$
$$x_{4} = frac{275}{27}$$

Численный ответ

i11 = 0.02407407407407407
i21 = 0.02037037037037037
i31 = 0.003703703703703704
v1 = 10.18518518518519

   
4.34
Slavikk85
Специализируюсь в написании рефератов, эссе, решении задач, а также в переводах текста с иностранного языка на русский-и наоборот