3*x+4*y+l+2*z+3*k=0 5*x+7*y+l+3*z+4*k=0 4*x+5*y+2*l+z+5*k=0 7*x+10*y+l+6*z+5*k=0

$$3 k + 2 z + l + 3 x + 4 y = 0$$

5*x + 7*y + l + 3*z + 4*k = 0

$$4 k + 3 z + l + 5 x + 7 y = 0$$

4*x + 5*y + 2*l + z + 5*k = 0

$$5 k + z + 2 l + 4 x + 5 y = 0$$

7*x + 10*y + l + 6*z + 5*k = 0

$$5 k + 6 z + l + 7 x + 10 y = 0$$

$$k_{1} = – 2 x – 3 y$$
=
$$- 2 x – 3 y$$
=

-2*x – 3*y

$$z_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$l_{1} = 3 x + 5 y$$
=
$$3 x + 5 y$$
=

3*x + 5*y

Дана система ур-ний
$$3 k + 2 z + l + 3 x + 4 y = 0$$
$$4 k + 3 z + l + 5 x + 7 y = 0$$
$$5 k + z + 2 l + 4 x + 5 y = 0$$
$$5 k + 6 z + l + 7 x + 10 y = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 k + l + 3 x + 4 y + 2 z = 0$$
$$4 k + l + 5 x + 7 y + 3 z = 0$$
$$5 k + 2 l + 4 x + 5 y + z = 0$$
$$5 k + l + 7 x + 10 y + 6 z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}3 & 1 & 3 & 4 & 2 & 04 & 1 & 5 & 7 & 3 & 05 & 2 & 4 & 5 & 1 & 05 & 1 & 7 & 10 & 6 & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}3455end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}3 & 1 & 3 & 4 & 2 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{4}{3} + 1 & 1 & – frac{16}{3} + 7 & – frac{8}{3} + 3 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 1 & 3 & 4 & 2 & 0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & 05 & 2 & 4 & 5 & 1 & 05 & 1 & 7 & 10 & 6 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{5}{3} + 2 & -1 & – frac{20}{3} + 5 & – frac{10}{3} + 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{1}{3} & -1 & – frac{5}{3} & – frac{7}{3} & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 1 & 3 & 4 & 2 & 0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3} & -1 & – frac{5}{3} & – frac{7}{3} & 05 & 1 & 7 & 10 & 6 & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{5}{3} + 1 & 2 & – frac{20}{3} + 10 & – frac{10}{3} + 6 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{2}{3} & 2 & frac{10}{3} & frac{8}{3} & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 1 & 3 & 4 & 2 & 0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3} & -1 & – frac{5}{3} & – frac{7}{3} & 0 & – frac{2}{3} & 2 & frac{10}{3} & frac{8}{3} & 0end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 – frac{1}{3}\frac{1}{3} – frac{2}{3}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 3 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 3 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 3 & 0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3} & -1 & – frac{5}{3} & – frac{7}{3} & 0 & – frac{2}{3} & 2 & frac{10}{3} & frac{8}{3} & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{1}{3} + frac{1}{3} & 0 & – frac{5}{3} – – frac{5}{3} & – frac{7}{3} – – frac{1}{3} & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 3 & 0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & – frac{2}{3} & 2 & frac{10}{3} & frac{8}{3} & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{2}{3} – – frac{2}{3} & 0 & – frac{10}{3} + frac{10}{3} & – frac{2}{3} + frac{8}{3} & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 3 & 0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}61end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 3 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{1}{2} & – frac{1}{3} & 0 & – frac{3}{2} + frac{5}{3} & – frac{1}{2} + frac{1}{3} & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{1}{2} & – frac{1}{3} & 0 & frac{1}{6} & – frac{1}{6} & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 3 & 0 – frac{1}{2} & – frac{1}{3} & 0 & frac{1}{6} & – frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}9\frac{1}{6}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 3 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{1}{2} – frac{1}{18} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & – frac{1}{6} + frac{1}{6} & – frac{1}{6} – frac{1}{18} & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & 0 & – frac{2}{9} & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 3 & 0 – frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & 0 & – frac{2}{9} & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
В 5 ом столбце
$$left[begin{matrix}3 – frac{2}{9} -22end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0 – frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & 0 & – frac{2}{9} & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & 0 & – frac{2}{9} – – frac{2}{9} & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0 – frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0 – frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}3 – frac{5}{9}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2
ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{5}{9} – – frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} – – frac{10}{9} & – frac{-5}{3} & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0 & – frac{1}{3} & 1 & frac{5}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}61end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{1}{2} & – frac{1}{3} & 0 & – frac{3}{2} + frac{5}{3} & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{1}{2} & – frac{1}{3} & 0 & frac{1}{6} & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0 – frac{1}{2} & – frac{1}{3} & 0 & frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}9\frac{1}{6}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{1}{2} – frac{1}{18} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & – frac{1}{6} + frac{1}{6} & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & 6 & 9 & 0 & 0 – frac{5}{9} & – frac{1}{3} & – frac{1}{9} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} + 6 x_{3} + 9 x_{4} = 0$$
$$- frac{5 x_{1}}{9} – frac{x_{2}}{3} – frac{x_{3}}{9} = 0$$
$$- 2 x_{5} = 0$$
$$0 – 0 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = – 2 x_{3} – 3 x_{4}$$
$$x_{1} = – frac{3 x_{2}}{5} – frac{x_{3}}{5}$$
$$x_{5} = 0$$
где x2, x3, x4 – свободные переменные