a-2*b+2*c-3*d=1 a+4*b-c-2*d=-2 a-4*b+3*c-2*d=-2 a-8*b+5*c-2*d=-2

a + 4*b – c – 2*d = -2

a – 4*b + 3*c – 2*d = -2

a – 8*b + 5*c – 2*d = -2

0.5*c

$$a_{1} = – c – 8$$
=
$$- c – 8$$
=

-8 – c

$$d_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=

-3

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$a – 2 b + 2 c – 3 d = 1$$
$$a + 4 b – c – 2 d = -2$$
$$a – 4 b + 3 c – 2 d = -2$$
$$a – 8 b + 5 c – 2 d = -2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & -2 & 2 & -3 & 11 & 4 & -1 & -2 & -21 & -4 & 3 & -2 & -21 & -8 & 5 & -2 & -2end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}1111end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & -2 & 2 & -3 & 1end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 6 & -3 & 1 & -3end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 6 & -3 & 1 & -3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & -2 & 2 & -3 & 1 & 6 & -3 & 1 & -31 & -4 & 3 & -2 & -21 & -8 & 5 & -2 & -2end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -2 & 1 & 1 & -3end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -2 & 1 & 1 & -3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & -2 & 2 & -3 & 1 & 6 & -3 & 1 & -3 & -2 & 1 & 1 & -31 & -8 & 5 & -2 & -2end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -6 & 3 & 1 & -3end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -6 & 3 & 1 & -3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & -2 & 2 & -3 & 1 & 6 & -3 & 1 & -3 & -2 & 1 & 1 & -3 & -6 & 3 & 1 & -3end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-26 -2 -6end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 6 & -3 & 1 & -3end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & -3 – – frac{1}{3} & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & – frac{8}{3} & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & – frac{8}{3} & 0 & 6 & -3 & 1 & -3 & -2 & 1 & 1 & -3 & -6 & 3 & 1 & -3end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & – frac{-1}{3} + 1 & -4end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & – frac{8}{3} & 0 & 6 & -3 & 1 & -3 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4 & -6 & 3 & 1 & -3end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 2 & -6end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 2 & -6end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & – frac{8}{3} & 0 & 6 & -3 & 1 & -3 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4 & 0 & 0 & 2 & -6end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -3end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & – frac{8}{3} & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 6 & 0 & -7 & -3end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 6 & 0 & -7 & -3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & – frac{8}{3} & 03 & 6 & 0 & -7 & -3 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4 & 0 & 0 & 2 & -6end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{8}{3} -7\frac{4}{3}2end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & – frac{8}{3} – – frac{8}{3} & -8end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & -8end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & -83 & 6 & 0 & -7 & -3 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4 & 0 & 0 & 2 & -6end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 6 & 0 & 0 & -24end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 6 & 0 & 0 & -24end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & -83 & 6 & 0 & 0 & -24 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4 & 0 & 0 & 2 & -6end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & -83 & 6 & 0 & 0 & -24 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}13end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & -8end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 6 & -3 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 6 & -3 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & -8 & 6 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -3end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & -8end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 6 & 0 & 0 & -24end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 6 & 0 & 0 & -24end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & -83 & 6 & 0 & 0 & -24 & 0 & 0 & frac{4}{3} & -4 & 0 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + x_{3} + 8 = 0$$
$$3 x_{1} + 6 x_{2} + 24 = 0$$
$$frac{4 x_{4}}{3} + 4 = 0$$
$$0 – 0 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = – x_{3} – 8$$
$$x_{1} = – 2 x_{2} – 8$$
$$x_{4} = -3$$
где x2, x3 – свободные переменные