a0+2*a1+2*a2+2*a3=3/8 a0+3*a1+3*a2+3*a3=63/250 a0+4*a1+4*a2+4*a3=21/50 a0+a1+a2+a3=157/500

$$2 a_{3} + 2 a_{2} + a_{0} + 2 a_{1} = frac{3}{8}$$

63
a0 + 3*a1 + 3*a2 + 3*a3 = —
250

$$3 a_{3} + 3 a_{2} + a_{0} + 3 a_{1} = frac{63}{250}$$

21
a0 + 4*a1 + 4*a2 + 4*a3 = —
50

$$4 a_{3} + 4 a_{2} + a_{0} + 4 a_{1} = frac{21}{50}$$

157
a0 + a1 + a2 + a3 = —
500

$$a_{3} + a_{2} + a_{0} + a_{1} = frac{157}{500}$$

Дана система ур-ний
$$2 a_{3} + 2 a_{2} + a_{0} + 2 a_{1} = frac{3}{8}$$
$$3 a_{3} + 3 a_{2} + a_{0} + 3 a_{1} = frac{63}{250}$$
$$4 a_{3} + 4 a_{2} + a_{0} + 4 a_{1} = frac{21}{50}$$
$$a_{3} + a_{2} + a_{0} + a_{1} = frac{157}{500}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$a_{0} + 2 a_{1} + 2 a_{2} + 2 a_{3} = frac{3}{8}$$
$$a_{0} + 3 a_{1} + 3 a_{2} + 3 a_{3} = frac{63}{250}$$
$$a_{0} + 4 a_{1} + 4 a_{2} + 4 a_{3} = frac{21}{50}$$
$$a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = frac{157}{500}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 2 & 2 & frac{3}{8}1 & 3 & 3 & 3 & frac{63}{250}1 & 4 & 4 & 4 & frac{21}{50}1 & 1 & 1 & 1 & frac{157}{500}end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}1111end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 2 & 2 & frac{3}{8}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 & – frac{3}{8} + frac{63}{250}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 & – frac{123}{1000}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 2 & 2 & frac{3}{8} & 1 & 1 & 1 & – frac{123}{1000}1 & 4 & 4 & 4 & frac{21}{50}1 & 1 & 1 & 1 & frac{157}{500}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 2 & 2 & 2 & – frac{3}{8} + frac{21}{50}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 2 & 2 & 2 & frac{9}{200}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 2 & 2 & frac{3}{8} & 1 & 1 & 1 & – frac{123}{1000} & 2 & 2 & 2 & frac{9}{200}1 & 1 & 1 & 1 & frac{157}{500}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & -1 & -1 & – frac{3}{8} + frac{157}{500}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & -1 & -1 & – frac{61}{1000}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 2 & 2 & frac{3}{8} & 1 & 1 & 1 & – frac{123}{1000} & 2 & 2 & 2 & frac{9}{200} & -1 & -1 & -1 & – frac{61}{1000}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}212 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 & – frac{123}{1000}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & – frac{-123}{500} + frac{3}{8}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{621}{1000}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{621}{1000} & 1 & 1 & 1 & – frac{123}{1000} & 2 & 2 & 2 & frac{9}{200} & -1 & -1 & -1 & – frac{61}{1000}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & frac{9}{200} – – frac{123}{500}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & frac{291}{1000}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{621}{1000} & 1 & 1 & 1 & – frac{123}{1000} & 0 & 0 & 0 & frac{291}{1000} & -1 & -1 & -1 & – frac{61}{1000}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & – frac{123}{1000} – frac{61}{1000}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & – frac{23}{125}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{621}{1000} & 1 & 1 & 1 & – frac{123}{1000} & 0 & 0 & 0 & frac{291}{1000} & 0 & 0 & 0 & – frac{23}{125}end{matrix}right]$$

Составляем элементарные ур-ния из решенной матрицы и видим, что эта система ур-ния не имеет решений
$$x_{1} – frac{621}{1000} = 0$$
$$x_{2} + x_{3} + x_{4} + frac{123}{1000} = 0$$
$$0 – 291/1000 = 0$$
$$0 + 23/125 = 0$$
Получаем ответ:
Данная система ур-ний не имеет решений