x-2*y+2*z-3*g=0 x+4*y-z-2*g=1 2*x-4*y+3*z-2*g=4 3*x-8*y+5*z-2*g=7

x + 4*y – z – 2*g = 1

2*x – 4*y + 3*z – 2*g = 4

3*x – 8*y + 5*z – 2*g = 7

3

$$g_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$z_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 3 g + x – 2 y + 2 z = 0$$
$$- 2 g + x + 4 y – z = 1$$
$$- 2 g + 2 x – 4 y + 3 z = 4$$
$$- 2 g + 3 x – 8 y + 5 z = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}2 x_{4} + – 2 x_{3} + – 3 x_{1} + x_{2} – x_{4} + 4 x_{3} + – 2 x_{1} + x_{2}3 x_{4} + – 4 x_{3} + – 2 x_{1} + 2 x_{2}5 x_{4} + – 8 x_{3} + – 2 x_{1} + 3 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0147end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}-3 & 1 & -2 & 2 -2 & 1 & 4 & -1 -2 & 2 & -4 & 3 -2 & 3 & -8 & 5end{matrix}right] right )} = -4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{4} {det}{left (left[begin{matrix}0 & 1 & -2 & 21 & 1 & 4 & -14 & 2 & -4 & 37 & 3 & -8 & 5end{matrix}right] right )} = 1$$
$$x_{2} = – frac{1}{4} {det}{left (left[begin{matrix}-3 & 0 & -2 & 2 -2 & 1 & 4 & -1 -2 & 4 & -4 & 3 -2 & 7 & -8 & 5end{matrix}right] right )} = 3$$
$$x_{3} = – frac{1}{4} {det}{left (left[begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 2 -2 & 1 & 1 & -1 -2 & 2 & 4 & 3 -2 & 3 & 7 & 5end{matrix}right] right )} = 0$$
$$x_{4} = – frac{1}{4} {det}{left (left[begin{matrix}-3 & 1 & -2 & 0 -2 & 1 & 4 & 1 -2 & 2 & -4 & 4 -2 & 3 & -8 & 7end{matrix}right] right )} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 3 g + x – 2 y + 2 z = 0$$
$$- 2 g + x + 4 y – z = 1$$
$$- 2 g + 2 x – 4 y + 3 z = 4$$
$$- 2 g + 3 x – 8 y + 5 z = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}-3 & 1 & -2 & 2 & 0 -2 & 1 & 4 & -1 & 1 -2 & 2 & -4 & 3 & 4 -2 & 3 & -8 & 5 & 7end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}-3 -2 -2 -2end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}-3 & 1 & -2 & 2 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{2}{3} + 1 & – frac{-4}{3} + 4 & – frac{4}{3} – 1 & 1end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{1}{3} & frac{16}{3} & – frac{7}{3} & 1end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 1 & -2 & 2 & 0 & frac{1}{3} & frac{16}{3} & – frac{7}{3} & 1 -2 & 2 & -4 & 3 & 4 -2 & 3 & -8 & 5 & 7end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{2}{3} + 2 & -4 – – frac{4}{3} & – frac{4}{3} + 3 & 4end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{4}{3} & – frac{8}{3} & frac{5}{3} & 4end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 1 & -2 & 2 & 0 & frac{1}{3} & frac{16}{3} & – frac{7}{3} & 1 & frac{4}{3} & – frac{8}{3} & frac{5}{3} & 4 -2 & 3 & -8 & 5 & 7end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{2}{3} + 3 & -8 – – frac{4}{3} & – frac{4}{3} + 5 & 7end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{7}{3} & – frac{20}{3} & frac{11}{3} & 7end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 1 & -2 & 2 & 0 & frac{1}{3} & frac{16}{3} & – frac{7}{3} & 1 & frac{4}{3} & – frac{8}{3} & frac{5}{3} & 4 & frac{7}{3} & – frac{20}{3} & frac{11}{3} & 7end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1\frac{1}{3}\frac{4}{3}\frac{7}{3}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{1}{3} & frac{16}{3} & – frac{7}{3} & 1end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & -18 & 9 & -3end{matrix}right] = left[begin{matrix}-3 & 0 & -18 & 9 & -3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & -18 & 9 & -3 & frac{1}{3} & frac{16}{3} & – frac{7}{3} & 1 & frac{4}{3} & – frac{8}{3} & frac{5}{3} & 4 & frac{7}{3} & – frac{20}{3} & frac{11}{3} & 7end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{4}{3} + frac{4}{3} & – frac{64}{3} – frac{8}{3} & frac{5}{3} – – frac{28}{3} & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -24 & 11 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & -18 & 9 & -3 & frac{1}{3} & frac{16}{3} & – frac{7}{3} & 1 & 0 & -24 & 11 & 0 & frac{7}{3} & – frac{20}{3} & frac{11}{3} & 7end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{7}{3} + frac{7}{3} & – frac{112}{3} – frac{20}{3} & frac{11}{3} – – frac{49}{3} & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -44 & 20 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & -18 & 9 & -3 & frac{1}{3} & frac{16}{3} & – frac{7}{3} & 1 & 0 & -24 & 11 & 0 & 0 & -44 & 20 & 0end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}-18\frac{16}{3} -24 -44end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -24 & 11 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & – frac{33}{4} + 9 & -3end{matrix}right] = left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & frac{3}{4} & -3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & frac{3}{4} & -3 & frac{1}{3} & frac{16}{3} & – frac{7}{3} & 1 & 0 & -24 & 11 & 0 & 0 & -44 & 20 & 0end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{1}{3} & – frac{16}{3} + frac{16}{3} & – frac{7}{3} – – frac{22}{9} & 1end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{1}{3} & 0 & frac{1}{9} & 1end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & frac{3}{4} & -3 & frac{1}{3} & 0 & frac{1}{9} & 1 & 0 & -24 & 11 & 0 & 0 & -44 & 20 & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & – frac{121}{6} + 20 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & – frac{1}{6} & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & frac{3}{4} & -3 & frac{1}{3} & 0 & frac{1}{9} & 1 & 0 & -24 & 11 & 0 & 0 & 0 & – frac{1}{6} & 0end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{3}{4}\frac{1}{9}11 – frac{1}{6}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & – frac{1}{6} & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & – frac{3}{4} + frac{3}{4} & -3end{matrix}right] = left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & 0 & -3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & 0 & -3 & frac{1}{3} & 0 & frac{1}{9} & 1 & 0 & -24 & 11 & 0 & 0 & 0 & – frac{1}{6} & 0end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{1}{3} & 0 & – frac{1}{9} + frac{1}{9} & 1end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{1}{3} & 0 & 0 & 1end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & 0 & -3 & frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & 0 & -24 & 11 & 0 & 0 & 0 & – frac{1}{6} & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -24 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -24 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-3 & 0 & 0 & 0 & -3 & frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & 0 & -24 & 0 & 0 & 0 & 0 & – frac{1}{6} & 0end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 3 x_{1} + 3 = 0$$
$$frac{x_{2}}{3} – 1 = 0$$
$$- 24 x_{3} = 0$$
$$- frac{x_{4}}{6} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 0$$

g1 = 1.00000000000000
x1 = 3.00000000000000
y1 = -4.135903062765138e-25
z1 = -1.033975765691285e-24

g2 = 1.00000000000000
x2 = 3.00000000000000
y2 = -5.169878828456423e-25
z2 = -1.033975765691285e-24

g3 = 1.00000000000000
x3 = 3.00000000000000
y3 = 1.033975765691285e-25
z3 = 2.067951531382569e-25

g4 = 1.00000000000000
x4 = 3.00000000000000
y4 = 9.305781891221561e-25
z4 = 2.274746684520826e-24

g5 = 1.00000000000000
x5 = 3.00000000000000
y5 = 0.0
z5 = 0.0

g6 = 1.00000000000000
x6 = 3.00000000000000
y6 = 1.34416849539867e-24
z6 = 3.101927297073854e-24

g7 = 1.00000000000000
x7 = 3.00000000000000
y7 = 6.462348535570529e-25
z7 = 1.447566071967798e-24

g8 = 1.00000000000000
x8 = 3.00000000000000
y8 = 1.550963648536927e-25
z8 = 4.135903062765138e-25

g9 = 1.00000000000000
x9 = 3.00000000000000
y9 = 1.033975765691285e-24
z9 = 2.68833699079734e-24

g10 = 1.00000000000000
x10 = 3.00000000000000
y10 = -1.033975765691285e-25
z10 = -2.067951531382569e-25

g11 = 1.00000000000000
x11 = 3.00000000000000
y11 = 4.135903062765138e-25
z11 = 1.033975765691285e-24

g12 = 1.00000000000000
x12 = 3.00000000000000
y12 = 3.101927297073854e-25
z12 = 6.203854594147708e-25

g13 = 1.00000000000000
x13 = 3.00000000000000
y13 = 7.754818242684634e-26
z13 = 2.067951531382569e-25

g14 = 1.00000000000000
x14 = 3.00000000000000
y14 = 1.861156378244312e-24
z14 = 4.342698215903395e-24

g15 = 1.00000000000000
x15 = 3.00000000000000
y15 = -1.550963648536927e-25
z15 = -4.135903062765138e-25

g16 = 1.00000000000000
x16 = 3.00000000000000
y16 = 8.271806125530277e-25
z16 = 1.861156378244312e-24

g17 = 1.00000000000000
x17 = 3.00000000000000
y17 = -2.067951531382569e-25
z17 = -4.135903062765138e-25

g18 = 1.00000000000000
x18 = 3.00000000000000
y18 = 0.0
z18 = -2.067951531382569e-25

g19 = 1.00000000000000
x19 = 3.00000000000000
y19 = -2.067951531382569e-25
z19 = -6.203854594147708e-25

g20 = 1.00000000000000
x20 = 3.00000000000000
y20 = 4.911384887033602e-25
z20 = 1.033975765691285e-24

g21 = 1.00000000000000
x21 = 3.00000000000000
y21 = 1.240770918829542e-24
z21 = 2.68833699079734e-24

g22 = 1.00000000000000
x22 = 3.00000000000000
y22 = 6.203854594147708e-25
z22 = 1.447566071967798e-24

g23 = 1.00000000000000
x23 = 3.00000000000000
y23 = -1.033975765691285e-24
z23 = -2.68833699079734e-24

g24 = 1.00000000000000
x24 = 3.00000000000000
y24 = -7.754818242684634e-26
z24 = -2.067951531382569e-25

g25 = 1.00000000000000
x25 = 3.00000000000000
y25 = -1.447566071967798e-24
z25 = -3.101927297073854e-24

g26 = 1.00000000000000
x26 = 3.00000000000000
y26 = -1.033975765691285e-24
z26 = -2.274746684520826e-24

g27 = 1.00000000000000
x27 = 3.00000000000000
y27 = 2.843433355651033e-25
z27 = 6.203854594147708e-25

g28 = 1.00000000000000
x28 = 3.00000000000000
y28 = 2.067951531382569e-25
z28 = 6.203854594147708e-25