x+2*y+3*z=6 4*x+5*y+6*z=9 7*x+8*y=-6

4*x + 5*y + 6*z = 9

7*x + 8*y = -6

-2

$$z_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y + 3 z = 6$$
$$4 x + 5 y + 6 z = 9$$
$$7 x + 8 y = -6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}6 x_{3} + 4 x_{1} + 5 x_{2} x_{3} + 7 x_{1} + 8 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}69 -6end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 2 & 34 & 5 & 67 & 8 & 0end{matrix}right] right )} = 27$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{27} {det}{left (left[begin{matrix}6 & 2 & 39 & 5 & 6 -6 & 8 & 0end{matrix}right] right )} = -2$$
$$x_{2} = frac{1}{27} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 6 & 34 & 9 & 67 & -6 & 0end{matrix}right] right )} = 1$$
$$x_{3} = frac{1}{27} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 2 & 64 & 5 & 97 & 8 & -6end{matrix}right] right )} = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y + 3 z = 6$$
$$4 x + 5 y + 6 z = 9$$
$$7 x + 8 y = -6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 3 & 64 & 5 & 6 & 97 & 8 & 0 & -6end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}147end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}7 & 8 & 0 & -6end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{8}{7} + 2 & 3 & – frac{-6}{7} + 6end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 3 & frac{48}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 3 & frac{48}{7}4 & 5 & 6 & 97 & 8 & 0 & -6end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{32}{7} + 5 & 6 & – frac{-24}{7} + 9end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{3}{7} & 6 & frac{87}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 3 & frac{48}{7} & frac{3}{7} & 6 & frac{87}{7}7 & 8 & 0 & -6end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{6}{7}\frac{3}{7}8end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 3 & frac{48}{7}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{3}{7} + frac{3}{7} & – frac{3}{2} + 6 & – frac{24}{7} + frac{87}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{9}{2} & 9end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 3 & frac{48}{7} & 0 & frac{9}{2} & 97 & 8 & 0 & -6end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}7 & 0 & -28 & -70end{matrix}right] = left[begin{matrix}7 & 0 & -28 & -70end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 3 & frac{48}{7} & 0 & frac{9}{2} & 97 & 0 & -28 & -70end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}3\frac{9}{2} -28end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{9}{2} & 9end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 0 & frac{6}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 0 & frac{6}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 0 & frac{6}{7} & 0 & frac{9}{2} & 97 & 0 & -28 & -70end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}7 & 0 & 0 & -14end{matrix}right] = left[begin{matrix}7 & 0 & 0 & -14end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{6}{7} & 0 & frac{6}{7} & 0 & frac{9}{2} & 97 & 0 & 0 & -14end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$frac{6 x_{2}}{7} – frac{6}{7} = 0$$
$$frac{9 x_{3}}{2} – 9 = 0$$
$$7 x_{1} + 14 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -2$$

x1 = -2.00000000000000
y1 = 1.00000000000000
z1 = 2.00000000000000