Дано

$$x + y = 100$$

x y
— + – = 16
100 4

$$frac{x}{100} + frac{y}{4} = 16$$
Подробное решение
Дана система ур-ний
$$x + y = 100$$
$$frac{x}{100} + frac{y}{4} = 16$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + y = 100$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = – y + 100$$
$$x = – y + 100$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$frac{x}{100} + frac{y}{4} = 16$$
Получим:
$$frac{y}{4} + frac{1}{100} left(- y + 100right) = 16$$
$$frac{6 y}{25} + 1 = 16$$
Перенесем свободное слагаемое 1 из левой части в правую со сменой знака
$$frac{6 y}{25} = 15$$
$$frac{6 y}{25} = 15$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$frac{frac{6}{25} y}{frac{6}{25}} = frac{125}{2}$$
$$y = frac{125}{2}$$
Т.к.
$$x = – y + 100$$
то
$$x = – frac{125}{2} + 100$$
$$x = frac{75}{2}$$

Ответ:
$$x = frac{75}{2}$$
$$y = frac{125}{2}$$

Ответ
$$x_{1} = frac{75}{2}$$
=
$$frac{75}{2}$$
=

37.5

$$y_{1} = frac{125}{2}$$
=
$$frac{125}{2}$$
=

62.5

Метод Крамера
$$x + y = 100$$
$$frac{x}{100} + frac{y}{4} = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 100$$
$$frac{x}{100} + frac{y}{4} = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{1} + x_{2}\frac{x_{1}}{100} + frac{x_{2}}{4}end{matrix}right] = left[begin{matrix}10016end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1\frac{1}{100} & frac{1}{4}end{matrix}right] right )} = frac{6}{25}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{25}{6} {det}{left (left[begin{matrix}100 & 116 & frac{1}{4}end{matrix}right] right )} = frac{75}{2}$$
$$x_{2} = frac{25}{6} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 100\frac{1}{100} & 16end{matrix}right] right )} = frac{125}{2}$$

Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$x + y = 100$$
$$frac{x}{100} + frac{y}{4} = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 100$$
$$frac{x}{100} + frac{y}{4} = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 100\frac{1}{100} & frac{1}{4} & 16end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}1\frac{1}{100}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 100end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{1}{100} + frac{1}{100} & – frac{1}{100} + frac{1}{4} & 15end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{6}{25} & 15end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 100 & frac{6}{25} & 15end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1\frac{6}{25}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{6}{25} & 15end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{125}{2} + 100end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & frac{75}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & frac{75}{2} & frac{6}{25} & 15end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} – frac{75}{2} = 0$$
$$frac{6 x_{2}}{25} – 15 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{75}{2}$$
$$x_{2} = frac{125}{2}$$

Численный ответ

x1 = 37.5000000000000
y1 = 62.5000000000000

   
4.97
Elena2008
Тесты на сайтах дистанционного обучения: ТОГУ, ТПУ, ТУСУР, система "Прометей","КОСМОС", i-exam и т.п. Выполняю контрольные и лабораторные работы по физико-математическим предметам.