x+y=37-t x+z=40-p z+y=43-r x+y+r+t+p+r=120

x + z = 40 – p

z + y = 43 – r

x + y + r + t + p + r = 120

43 – 2*y – 3*z

$$r_{1} = – y – z + 43$$
=
$$- y – z + 43$$
=

43 – y – z

$$p_{1} = 2 y + 2 z – 3$$
=
$$2 y + 2 z – 3$$
=

-3 + 2*y + 2*z

$$t_{1} = y + 3 z – 6$$
=
$$y + 3 z – 6$$
=

-6 + y + 3*z

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$t + x + y = 37$$
$$p + x + z = 40$$
$$r + y + z = 43$$
$$p + 2 r + t + x + y = 120$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 40 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 431 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 120end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}011end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 40end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 80end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 80end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 40 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 80end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}012end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 40 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}11end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 37end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & -43end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & -43end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 40 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & -43end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}11 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 37end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & -43end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -11end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 37end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 40end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 40end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 40 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & -43end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & -43end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 40 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & -43end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}11 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 37end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & -43end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 371 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 43 & 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & -6end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{3} + x_{4} + x_{5} – 37 = 0$$
$$x_{1} – x_{3} – x_{5} + x_{6} – 3 = 0$$
$$x_{2} + x_{5} + x_{6} – 43 = 0$$
$$x_{3} – x_{5} – 3 x_{6} + 6 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{3} = – x_{4} – x_{5} + 37$$
$$x_{1} = x_{3} + x_{5} – x_{6} + 3$$
$$x_{2} = – x_{5} – x_{6} + 43$$
$$x_{3} = x_{5} + 3 x_{6} – 6$$
где x3, x4, x5, x6 – свободные переменные