На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения этой задачи воспользуемся методом интегрирования по частям.
Шаг 1: Разложение выражения на два слагаемых. В данной задаче у нас есть два слагаемых: -5x – 5 и 3x^2 + 14x + 45.
∫(-5x – 5)/(3x^2 + 14x + 45) dx
Шаг 2: Проведем интегрирование первого слагаемого -5x – 5:
∫(-5x – 5) dx = -5∫x dx – 5∫1 dx = -5(x^2/2) – 5x + C1
Шаг 3: Проведем интегрирование второго слагаемого 3x^2 + 14x + 45:
Для интегрирования данного выражения воспользуемся следующим выражением:
∫(f(x)g'(x) + f'(x)g(x)) dx = f(x)g(x) + C2,
где f(x) и g(x) – это функции, а f'(x) и g'(x) – их производные.
Преобразуем уравнение 3x^2 + 14x + 45 в виде произведения двух функций:
3x^2 + 14x + 45 = (x + a)(x + b).
Найдем значения a и b, разложив выражение 3x^2 + 14x + 45 на произведение (x + a)(x + b) с помощью метода разложения на множители:
a + b = 14/3
a * b = 45/3
Решая это уравнение, получаем a = 9 и b = 5/3.
Теперь, готовы к использованию формулы для интегрирования:
∫(3x^2 + 14x + 45) dx = ∫[(x + 9)(x + 5/3)] dx
Шаг 4: Произведение функций разложим на сумму интегралов:
∫[(x + 9)(x + 5/3)] dx = ∫[x^2 + (5/3)x + 9x + 15] dx
Шаг 5: Интегрируем каждое слагаемое:
∫x^2 dx = x^3/3 + C3,
∫(5/3)x dx = (5/3)(x^2/2) + C4,
∫9x dx = 9(x^2/2) + C5,
∫15 dx = 15x + C6.
Шаг 6: Соберем все полученные интегралы вместе:
∫[(x + 9)(x + 5/3)] dx = x^3/3 + (5/3)(x^2/2) + 9(x^2/2) + 15x + C7,
где С7 = C3 + C4 + C5 + C6.
Шаг 7: Итак, итоговая формула интеграла имеет вид:
∫(-5x – 5)/(3x^2 + 14x + 45) dx = -5(x^2/2) – 5x + (x^3/3 + (5/3)(x^2/2) + 9(x^2/2) + 15x) + C7
∫(-5x – 5)/(3x^2 + 14x + 45) dx = (x^3/3 + (5/3)(x^2/2) + 9(x^2/2) + 15x – 5(x^2/2) – 5x) + C7
Если мы сравним результат с исходным уравнением ∫(-5x – 5)/(3x^2 + 14x + 45) dx = a ln|x + b| + c ln|x + 5|, то получим соответствие коэффициентов:
a = 1/3
b = -9/2
c = 5/3
Таким образом, мы нашли коэффициенты и сопоставили их.
