На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Дано уравнение функции y = x^3 – 3x^2 – 9x + 4.
1) Найдем область определения функции. Функция y = x^3 – 3x^2 – 9x + 4 определена для любого значения x, так как не содержит знаменателя и корней с четными показателями. Таким образом, область определения функции – это все действительные числа.
2) Проверим четность-нечетность функции. Чтобы проверить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить условие f(-x) = f(x) для всех x в области определения функции. Подставим -x в уравнение и вычислим: f(-x) = (-x)^3 – 3(-x)^2 – 9(-x) + 4 = -x^3 – 3x^2 + 9x + 4. Сравнивая с исходной функцией, видим, что f(-x) ≠ f(x) для всех x. Это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Найдем точки пересечения с осями координат. Чтобы найти точку пересечения с осью OY (y = 0), решим уравнение x^3 – 3x^2 – 9x + 4 = 0. Одно из решений этого уравнения – x = 4. Таким образом, точка пересечения с осью OY: (4, 0). Чтобы найти точку пересечения с осью OX (x = 0), подставим x = 0 в исходное уравнение и получим y = 4. Точка пересечения с осью OX: (0, 4).
4) Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: f'(x) = 3x^2 – 6x – 9 = 0. Решим это уравнение и получим два решения: x1 ≈ -1.155 и x2 ≈ 3.155. Используя таблицу знаков производной, находим интервалы монотонности: (-∞, -1.155) – убывание, (-1.155, 3.155) – возрастание, (3.155, +∞) – убывание. Экстремумы функции находятся в точке x = -1.155 и x = 3.155.
5) Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции. Для этого найдем вторую производную функции: f”(x) = 6x – 6. Решим уравнение f”(x) = 0 и получим x = 1. Точка перегиба: (1, f(1)). Используя таблицу знаков второй производной, находим интервалы выпуклости и вогнутости: (-∞, 1) – вогнутость, (1, +∞) – выпуклость.
6) Построим график функции. Воспользуемся найденными характеристиками функции: точками пересечения с осями координат, экстремумами, точками перегиба и интервалами монотонности. Построим график, учитывая значения функции на этих точках и общий вид функции.
